2次関数

1.2乗に比例する関数

二乗に比例する関数

次数が2の単項式で表される関数。

二乗に比例する関数の特徴

① 原点を頂点として通る。

② \(y=ax^2\)と表される時、y軸に線対称の放物線である。

③ 変化の割合が一定ではない。

 

2.2次関数

二次関数とは

最高次数が2の多項式で表される関数。

\(y=ax^2+bx+c \quad (a \neq 0)\)

2次関数の特徴

\(y=ax^2+bx+c \quad (a \neq 0)\)について

\(\begin{align}① \quad & a \gt 0 の時、下に凸。 \\ & a \lt 0 の時、上に凸。\\ \end{align}\)

\(\begin{align}② \quad & a \gt 0 の時、最小値がある。 \\ & a \lt 0 の時、最大値がある。 \end{align}\)

③ 頂点は\((x,y)=(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})\)。

④ 軸\( x=-\frac{b}{2a} \)に対して線対称。

⑤ \(y=0\)の時の二次方程式の解は、\(x\)軸と交わる座標。

関連 >> グラフの書き方

①~④について

例①②-1).\(y=2x^2-4x\)のグラフを描く。

① 下に凸なのが分かる。

② 最小値がある。

例①②-2).\(y=-2x^2-4x\)のグラフを描く。

① 上に凸なのが分かる。

② 最大値がある。

 

例③).\(y=ax^2+bx+c\)の頂点について

\(\begin{align} y &= ax^2+bx+c \\ &= a(x^2+\frac{b}{a}x)+c \\ &= a(x+\frac{b}{2a})^2 -\frac{b^2-4ac}{4a} \end{align}\)

よって、頂点は

\((x,y)=(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})\)

 

例④).\( ( \alpha ) . x=s-\frac{b}{2a} \quad , \quad ( \beta ) . {2a}x=-s-\frac{b}{2a}\)の時の、\(y\)の値を求める。

\( ( \alpha ) .x=s-\frac{b}{2a} \)の時、

\(\begin{align} y &= a(s-\frac{b}{2a}+\frac{b}{2a})^2 -\frac{b^2-4ac}{4a} \\ &= as^2 -\frac{b^2-4ac}{4a} \end{align}\)

\( ( \beta ) .x=-s-\frac{b}{2a} \)の時、

\(\begin{align} y &= a(-s-\frac{b}{2a}+\frac{b}{2a})^2 -\frac{b^2-4ac}{4a} \\ &= as^2 -\frac{b^2-4ac}{4a} \end{align}\)

軸から同距離\(sの位置で同じyの値なので\)軸に対して、線対称なのが分かる。

 

例⑤).\(y=ax^2+bx+c=0\)の時、当然x軸と交わる。

 

3.放物線と直線

放物線と直線の交点

\(放物線(y=ax^2+b)と直線(y=mx+n)\)の交点を求める。

\(ax^2+b = mx +n \quad\)の解が交点のx座標になります。

解を\(x=p,q\)とすれば、交点の座標は、

\(A(p,ap^2+b)とB(q,aq^2+b)\)

である。

 

何故 = で結ぶのか

ある二つの曲線や直線の交点を求める際に、=で式を結んで解を求める事が多いです。

その理由を説明していきます。

 

放物線\(y=ax^2+b\)と直線\(y=mx+n\)があります。

仮の交点の\(x座標をx=p,q\)とする。

\(x=p\)では、放物線と直線のy座標は同じなので

\(ap^2+b = mp+n\)

同様に\(x=q\)の時も同じで

\(aq^2+b = mq+n\)

なので、結局のところ

\(ax^2+b = mx+n\)

を解くのと同じという事がわかる。

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