対数

1.対数

対数とは

\( a \) を1でない正の数とし、\( a^m = M \) とするとき、\( mをa \) を底とする\( M \) の対数という。

\[ a^m = M \quad \longleftrightarrow m = \log_a M \quad \quad (a > 0 ,\quad a\neq 1,\quad M > 0) \]

\( M \) は対数 \( m \) の真数という。真数は常に正である。

特に底が10である対数を常用対数という。

習慣として、常用対数は底10を省略して、

\( m= \log M \)

とかく。

\( 2^5 = 32 \Longleftrightarrow 5 = \log_2 32 \)

対数の性質

※ \( a>0,\quad a\neq1,\quad M>0,\quad N>0 \) とする。

(1). \( \log_a a =1, \quad \log_a 1 = 0 \)

(2). \( \log_a MN = \log_a M + \log_a N \)

(3). \( \log_a \frac{M}{N} = \log_a M -\log_a N \)

(4). \( \log_a M^k = k \log_a M \)

(5). \( \large{ \log_a M = \frac{\log_b M}{\log_b a} } \quad (底の変換公式) \)

(6). \( a^{\log_a M} = M \)

例題

次の式を計算しなさい。

(1). \( \log_6 2 + \log_6 3 \)

(2). \( \log_8 \sqrt{2} + \log_8 2 \)

(3). \( \log_10 2 + \log_10 \sqrt{15} -\log_10 \sqrt{6} \)

(4). \( ( \log_9 8 )( \log_2 3 ) \)

(5). \( (\log_2 3 + \log_4 9)( \log_3 4 + \log_9 2 ) \)

例題(1).

 \( \log_6 2 + \log_6 3 = \log_6 2\cdot 3 = \log_6 6 = 1\)

例題(2).

 \( \log_8 \sqrt{2} + \log_8 2 = \log_8 2^{\frac{3}{2}} = \frac{1}{2} \log_8 2^3 \)

 \( = \frac{1}{2} \log_8 8 = \frac{1}{2} \)

例題(3).

 \( \log_10 2 + \log_10 \sqrt{15} -\log_10 \sqrt{6} \)

 \( = \log_10 2 +\frac{1}{2} ( \log_10 3 + \log_10 5 ) -\frac{1}{2} ( \log_10 2 + \log_10 3 ) \)

 \( = \frac{1}{2} ( \log_10 2 + \log_10 5 ) = \frac{1}{2}\log_10 10 = \frac{1}{2} \)

例題(4).

 \( ( \log_9 8 )( \log_2 3 ) = \frac{\log_2 8}{\log_2 9} \cdot \log_2 3 \)

 \( = \frac{3 \log_2 2}{2 \log_2 3} \cdot \log_2 3 = 3 \)

例題(5).

 \( (\log_2 3 + \log_4 9)( \log_3 4 + \log_9 2 ) \)

 \( = (\log_2 3 + \frac{\log_2 9}{ \log_2 4 })( \frac{\log_2 4}{\log_2 3} + \frac{\log_2 2}{\log_2 9} ) \)

 \( = (\log_2 3 + \frac{2 \log_2 3}{2})( \frac{2}{\log_2 3} + \frac{1}{2 \log_2 3} ) \)

 \( = \log_2 3 (1+ \frac{1}{2})\cdot \frac{1}{\log_2 3} ( 2 +1 ) \)

 \( = \frac{9}{2} \)

 

2.対数のグラフ

対数関数のグラフ

① 対数関数

 \( a>0,\quad a\neq 1 \) の時、関数 \( y=\log_a x \) を

 \( a \) を底とする \( x \)の対数関数という。

② 対数関数のグラフ

\( y=\log_a x \) のグラフについて

\( (1).\quad a>1 \) の時、増加関数。

\( \quad \quad \quad 0 < a < 1 \) の時、減少関数。

\( (2).\quad x \) 軸と (1,0)で交わる。

\( (3).\quad y軸が漸近線になる。 \)

\( (4).\quad y=a^x \) のグラフと直線 \( y=x \) に関して対称である。

下のスライダー部分をスライドさせると、\( y = log_a x \)(青) と \( y=a^x\)(赤) のグラフが作成される。

スライダーで\( a \) の値を変えることが出来る。

注意して見なければいけないのは、\( log_a x \) は決してy軸は接することがないという事だ。

a :2

 

3.常用対数

例題

① 常用対数

 底が10のときの対数を常用対数という。

 底の10を小りゃあくして、\( \log_10 2 \) を \( \log 2 \) と書く事がよくある。

② 常用対数の値

 \( log 10 = 1,\quad \log 100 = 2, \quad \log 0.1 = -1 ,\quad \log 0.01 = -2 \)

 \( log 2 \approx 0.3010,\quad \log 3 \approx 0.4771 \)

 常用対数の値はよく使うので、常用対数表がある。

③ 桁数の求め方

 \( \alpha,\quad \beta \) を正の整数とする。

 (1). \( \alpha \le \log x < \alpha +1 \quad \cdots \cdots x\) の整数部分は \( \alpha+1 \) 桁

 (2). \( -\beta \le \log x < -\beta +1 \quad \cdots \cdots x \) は小数第 \( \beta \) 位にはじめて 0 でない数が現れる。

例題

\( 2^{100} \) の桁数を求めよ。

例題).

 \( \log 2^{100} = 100 \log 2 \approx 100 \times 0.3010 \)

 \( = 30.10 \) より

 \( 30 < \log 2^{100} < 31 \) となるので

 \( 10^{30} < 2^{100} < 10^{31} \) となる。よって、

 \( 2^{100} \) の桁数は 31桁の整数となる。

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