センター試験便利知識①
1.センター試験便利知識①
公式①
放物線：\(y=ax^2+bx+c\)
直線：\(y=px+q\)
放物線と直線の2つの交点を\( \alpha,\beta ( \alpha \lt \beta )\)と置いた時、
放物線と直線で囲まれた部分の面積\(S\)は、
\(S=\frac{|a|}{6}(\beta – \alpha)^3\)
この式の特徴は、直線の数式はあまり関係のない所です。
最低限、\(\alpha と\beta \)さえ知りえていれば、面積が求まります。
この公式がなくとも、積分が出来れば解けるのですが
この公式があれば早く解ける事が多いです。
それでは、例を見ていきましょう。
例
\(放物線y=2x-2x+1と点A(1,1)で接する直線y=2x-1がある。\)
\(この放物線と直線とx=v(v \gt 1)で囲まれる面積Sを求めよ。\)
図示すると下記の青色の部分が面積\(S\)になります。
この面積Sを求めるために、補助線としてAからB(\(x=vと放物線の交点\))に直線を引き、\(\triangle ABC\)を作ります。
緑色の\(\triangle ABC\)の面積から、黄色の面積を引けば青色の面積になる事が分かりますね。
緑色の\(\triangle ABC\)の面積は、底辺をBCとして高さを\(x=vからA\)までの距離と考えて求められる。
緑色、黄色、青色の面積の順で求めていく。
\(\begin{align}\quad\quad\quad\quad (緑色の面積)三角形の面積&=\frac{1}{2}(2v^2-4v+2)(v-1) \\ &=(v-1)^3\end{align}\)\(\begin{align}\quad \quad (黄色の面積)=\frac{|2|}{6}(v-1)^3\end{align}\)
\(\begin{align}\quad \quad (青色の面積)S &=(緑色の面積)-(黄色の面積) \\ &=(v-1)^3-\frac{2}{6}(v-1)^3 \\ &=(v-1)^3 ( 1- \frac{1}{3} ) \\ &=\frac{2}{3}(v-1)^3 \end{align}\)
と求まります。
このように補助線を引く事で、三角形の面積と上の公式①を使うことで求めることが出来ました。
これくらいなら積分を使ってもいいのですが、変数が多くなって分かりづらくなったり、出来るだけ計算間違いを減らす手段としては良い公式です。
もし良ければ使ってみて下さい。
