多変数関数の微分

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 1.偏微分・全微分

複数の変数を持つ関数\( f(x_1,x_2,…,x_n) \)について、一つの変数に注目し、
ほかの変数を固定された変数とみなして微分を計算したものを偏微分と呼びます。

偏微分\[
\frac{\partial}{\partial x_k} f(x_1 ,x_2 , … ,x_n) =
\lim_{h \to 0} \frac{f(x_1 , … , x_k +h , … ,x_n) – f(x_1,…,x_k,…x_n)}{h}
\]

この時の微分の記号には\( d \)ではなく、\( \partial \)を用いる。
\( \partial \)は、私は大学ではラウンドディーと読んでいました。

 

各変数\( x_k \)が\( dx_k \)だけ微小変化した場合の関数\( f(x_1,x_2,…,x_n) \)の
変化を関数\( f \)の全微分と呼び、以下で表される。

全微分\[df =
\frac{\partial f}{\partial x_1} dx_1 +
\frac{\partial f}{\partial x_2} dx_2 + \dots +
\frac{\partial f}{\partial x_n} dx_n
\]

 2.連鎖定理（連鎖律）

関数\( f(x_1,x_2,…,x_n) \)の変数\( x_1,x_2,…x_n \)が別の変数\( t_1 , t_2 ,…,t_n \)
の関数として表されるとき、関数\( f(x_1,x_2,…,x_n) \)の\( t_k \)についての偏微分は次の式で表すことが出来る。

連鎖定理\[
\frac{\partial f}{\partial t_k} =
\sum_{i=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_i} \frac{\partial x_i}{\partial t_k}
\]

例 ). 二次元の直交座標\( (x,y) \) が極座標\( ( r, \theta ) \ ( 0 \le r \le \infty , \ 0 \le \theta \le 2\pi ) \)
と \( x = r \cos \theta , y = r \sin \theta \) の関係にある時、
\[
r = \sqrt{x^2 + y^2} , \ \sin \theta = \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}} , \ \cos \theta = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}
\]
なので、
\begin{align}
\frac{\partial r}{\partial x} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}} = \cos \theta \\
\frac{\partial r}{\partial y} = \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}} = \sin \theta \\
\end{align}
\( \cos \theta = x / \sqrt{x^2 + y^2} \) の両辺を \( x , y\) で偏微分して
\begin{align}
– \sin \frac{\partial \theta}{\partial x} &= \frac{1}{(x^2 + y^2)^\frac{1}{2}} – \frac{x^2}{(x^2 + y^2)^\frac{3}{2}} \\
&= \frac{\sin^2 \theta}{r} \\
– \sin \frac{\partial \theta}{\partial y} &= – \frac{xy}{} \\
&= – \frac{\cos \theta \sin \theta}{r}
\end{align}
となるので、
\begin{align}
\frac{\partial \theta}{\partial x} = – \frac{\sin \theta}{r} \\
\frac{\partial \theta}{\partial y} = \frac{\cos \theta}{r}
\end{align}
これらを用いて、\( f(x_1,x_2,…,x_n) \)を\( x , y\) で偏微分した形は
\begin{align}
\frac{\partial f}{\partial x} &= \frac{\partial f}{\partial r} \frac{\partial r}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial \theta} \frac{\partial \theta}{\partial x} \\
&= \frac{\partial f}{\partial r} \cos \theta – \frac{\partial f}{\partial \theta} \frac{\sin \theta}{r} \\
\frac{\partial f}{\partial y} &= \frac{\partial f}{\partial r} \frac{\partial r}{\partial y} + \frac{\partial f}{\partial \theta} \frac{\partial \theta}{\partial y} \\
&= \frac{\partial f}{\partial r} \sin \theta + \frac{\partial f}{\partial \theta} \frac{\cos \theta}{r}
\end{align}
となります。

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