整式の除法

文字式の指数法則

\(① a^m \times a^n = a^{m+n}\)

\(② (a^m)^n = a^mn\)

\(③ (ab)^m = a^m b^m\)

\(④ a^m \div a^n = a^(m-n)\)

整式の除法

xの整式\(A(x)、B(x)\)に対し

\(A(x) = B(x)Q(x) + R(x)\) \(ただし、(R(x)の次数)<(B(x)の次数)\)

となる整式\(Q(x)、R(x)はただ1組定まる。\)

ここで\(Q(x)、R(x)をA(x)をB(x)\)で割った商、余りという。

剰余の定理(余りの定理)

整式\(f(x)\)について

① \(x-a\)で割った時の余りは\(f(a)\)に等しい。

② \(ax-b\)で割った時の余りは\(f(\frac{b}{a})\)に等しい。

因数定理

整式\(f(x)\)について

① \(f(a)=0 \Longleftrightarrow f(x)はx-a\)を因数に持つ。

② \(f(-\frac{b}{a})=0 \Longleftrightarrow f(x)は ax+b \quad(a \neq 0)\)を因数に持つ。

③ \(f(\alpha )=f(\beta)=0 (\alpha \neq \beta)\)

\( \quad \quad \Longleftrightarrow f(x)は (x-\alpha)(x-\beta)\quad (a \neq 0)\)を因数に持つ。

④ \(f(x)が(x-\alpha)^2で割り切れる。\)

\( \quad \quad \Longleftrightarrow f(\alpha)=0\quad かつ \quad f'(\alpha)=0\)

組立除法

\(f(x) = a_0x^n + a_1 x^{n-1}+a_2x^{n-2}+\cdots + a_n\)

を\(x-\alpha\)で割った時、商を

\(\quad g(x) = b_0 x^{n-1} + b_1x^{n-2}+\cdots+b_{n-1}\)

余りを\(R\)とすると

\(\quad f(x) = (x-\alpha)g(x)+R\)

両辺の同次の項の係数をくらべて、

\(\quad a_0 = b_0,\quad a_1 = b_1 -b_0\alpha ,\quad \dots \quad ,a_n = R-b_{n-1}\alpha\)

最大公約数とは

公約数の中で最も大きい数を最大公約数と言う。

例).24と42の最大公約数：6

最小公倍数とは

公倍数の中で0以外の最も小さい数を最小公倍数という。

例).8と12の最小公倍数：24

最大公約数・最小公倍数の性質

2つの整式\(A,Bの最大公約数をG、最小公倍数をLとすると\)

\(A=aG,\quad B= bG \quad (a,bは互いに素)\) \(L = abG,\quad LG=AB\)

分数式

① 分数式の分母、分子が公約数を持たない時、これを既約分数式という。

② 分数式の分母、分子をその公約数で割って簡単にすることを約分するという。

③ 分母の異なるいくつかの分数式で、分母を同じになるように変形することを通分するという。

分数式の計算

① \( \frac{A}{B} = \frac{A\times C}{B\times C},\quad \frac{A}{B}=\frac{A\div C}{B\div C} \)

② \( \frac{A}{D} + \frac{B}{D} – \frac{C}{D} = \frac{A+B-C}{D}\)

③ \( \frac{A}{B} \times \frac{C}{D} = \frac{A\times C}{B \times D} \)

④ \( \frac{A}{B} \div \frac{C}{D} = \frac{A}{B} \times \frac{D}{C} \)

分数式の計算上の工夫

① 分子を分母で割る

\(\quad \quad \frac{x^2+1}{x-1} = x+1+\frac{2}{x-1}\quad\)など

② 部分分数に分解する。