複素数

虚数とは

負の数の平方根。

記号：$i$

$i=\sqrt{-1}$

複素数

a,bを実数として

$a+bi$

の形に表される数を複素数といいます。aを実部、bを虚部、iを虚数単位という。

四則計算

① 加法：$(a+bi)+(c+di) = (a+c)+(b+d)i$

② 減法：$(a+bi)-(c+di) = (a-c)+(b-d)i$

③ 乗法：$(a+bi)(c+di) = (ac-bd)+(ab+bc)i$

④ 除法：$c+di \neq 0$のとき

$\quad \quad \begin{align} \large{\frac{a+bi}{c+di}} &= \large{\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}} \\ &= \large{\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2-d^2}i} \end{align}$

 

・$\alpha、\betaが複素数であるとき$

$\quad \alpha \beta = 0 \Longleftrightarrow \alpha =0 または \beta =0$

負の数の平方根

$x^2 = -k \quad (k \gt 0)$

とおくと$\quad (\sqrt{k}i)^2=-k \quad$であるから

$x = \pm \sqrt{k}i$

2次方程式の解

複素数の範囲まで広げる事で、2次方程式の解は常にあるようになる。

求め方は以下のようなものがある。

① 因数分解による解法。

② 平方根による解法。

$\quad \quad x^2=-2 \quad の時、\quad x=\pm\sqrt{2}i$

③ 解の公式 ($\quad ax^2+bx+c=0 \quad$について)

$\quad \quad x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

2次方程式の判別式

$ax^2+bx+c=0 \quad (a \neq 0)$についての判別式

$D=b^2-4ac \quad \begin{cases} \gt 0 \quad \text{解の個数は2個} \\ = 0 \quad \text{解の個数は1個}　\\ \lt 0 \quad \text{異なる2つの虚数解 (共役複素数)} \end{cases}$

共役複素数

複素数$z=a+bi$に対して$a-biをz$の共役複素数($\overline{z}$)という。

共役複素数の基本性質

複素数$z=a+bi$に対して

① $\quad z + \overline{z} = 2a$

② $\quad z – \overline{z} = 2bi$

③ $\quad z \overline{z} = a^2+b^2$

2次方程式の解

実係数の方程式

$\quad a_0x^n+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+\cdots+a_{n-1}x+a_n = 0$

が虚数解$\alpha$を持てば、$\overline{\alpha}$もこの方程式の解となる。