解と係数の関係 2
1.3次方程式の解と係数の関係
3次方程式の解と係数の関係
3次方程式 ax^3+bx^2+cx+d=0 \quad (a \neq 0) の3つの解を \alpha,\beta,\gamma とすると
\quad \alpha+\beta+\gamma = -\frac{b}{a},\quad \alpha \beta + \beta\gamma+\gamma\alpha = \frac{c}{a},\quad \alpha\beta\gamma = -\frac{d}{a}例題1
x^3+2x^2+3x+4=0 の3つの解を \alpha,\quad \beta,\quad\gammaとする時
\alpha^3+\beta^3+\gamma^3の値を求めよ。
解答).
\alpha+\beta+\gamma = -2,\quad \alpha \beta + \beta\gamma+\gamma\alpha = 3,\quad \alpha\beta\gamma = -4 \begin{align} \alpha^3+\beta^3+\gamma^3 -3\alpha\beta\gamma &= (\alpha+\beta+\gamma)(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2) \\ &= (\alpha+\beta+\gamma)\{ (\alpha+\beta+\gamma)^2-3(\alpha\beta + \beta\gamma+\gamma\alpha) \} \\ &= (-2)\{ (-2)^2-3(3) \} \\ &= 10 \end{align}よって
\alpha^3+\beta^3+\gamma^3 = 10+3\cdot(-4) = -2
応用
3次方程式 ax^3+bx^2+cx+d=0 の解を \alpha,\beta,\gamma とすると
① 因数分解
\quad \quad ax^3+bx^2+cx+d=a(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)② \alpha^n+\beta^n+\gamma^nについて
\quad \begin{cases} a\alpha^3+b\alpha^2+c\alpha+d=0 \\ a\beta^3+b\beta^2+c\beta+d=0 \\ a\gamma^3+b\gamma^2+c\gamma+d=0\end{cases}から
\quad \begin{align} & a(\alpha^{n+3}+\beta^{n+3}+\gamma^{n+3})+b(\alpha^{n+2}+\beta^{n+2}+\gamma^{n+2}) \\ \quad & +c(\alpha^{n+1}+\beta^{n+1}+\gamma^{n+1})+d(\alpha^n+\beta^n+\gamma^n)=0 \end{align}連立方程式の解法への応用
\begin{align} x+y+z &= a \\ xy+yz+zx &= b \\ xyz &= c \end{align}
ならば x, y, z は
t^3-at^2+bt-c=0 の3つの解である。
例題2
3つの実数があって、これらの和は13、平方の和は61、かつ逆数の和は \frac{3}{4} である。
これらの3つの実数の和を求めよ。
解答).
3つの実数を x,y,z とすると、
\begin{cases} x+y+z = 13 \quad \cdots ①\\ x^2+y^2+z^2 = 61 \quad \cdots ② \\ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} = \frac{xy+yz+zx}{xyz}=\frac{3}{4} \quad \cdots ③ \\ \left( ∴ xy+yz+zx = \frac{3}{4}xyz \right) \\ \end{cases}\quad \begin{align} ①^2-②より、2(xy+yz+zx) = 13^2-61 = 108 \\ (∴ xy+yz+zx = 54 ,\quad xyz = 72)\end{align}
まとめると
\quad \begin{cases} x+y+z &= 13 \\ xy+yz+zx &= 54 \\ xyz &= 72 \end{cases}となる。以上より x,y,z は
t^3-13t^2+54t-72 = (t-3)(t-4)(t-6) = 0の解であるので、求める3つの実数は、3,4,6 と求められる。
2.共通解
2つの2次方程式の解の共通
\quad \begin{cases} ax^2+bx+c = 0 \quad (a \neq 0) \quad & \cdots (1) \\ a’x^2+b’x+c’ = 0 \quad (a’ \neq 0) \quad & \cdots (2) \end{cases}
① 共通解が2つの場合
\quad \quad \frac{a}{a’} = \frac{b}{b’} = \frac{c}{c’}② 共通解が1つの場合
(1)、(2)から、x^2を消去して得るxの1次方程式の解\alphaを求め、
どちらかの式に代入して成り立てば、\alphaが共通解になる。
複素係数の2次方程式
① 因数分解による解法
\quad \quad x^2-ix-2 = 0 について
\quad \quad (x-2i)(x+i) = 0よって、x=-i,\quad 2i
② 複素係数の方程式の実数解
与式を実部と虚部に分けて、
f(x)+ig(x) = 0
と変形し、f(x) = 0 と g(x)=0 との共通解(実数解)を求める。
