連立方程式の解法 1

1.連立1次方程式 1

解答).

(加減法) $①\times2+②\times3$より

$\begin{cases} 10x-6y-26 &=0 \quad \cdots ①’\\ 9x+6y-12 &= 0 \quad \cdots ②’ \end{cases}$

 

$\quad \Longrightarrow 19x = 38 \quad (∴ x=2)$

このxの解を①、もしくは②に代入してyを求めると

$∴y=-1$

となる。

$\begin{cases} x=2 \\ y=-1 \end{cases}$

 

解答).

まず初めにk=0の時、式は成り立たないので、$k \neq 0$

①-②、①+②より

$\begin{cases} y-x=k\{ (x-y) – (x^3-y^3) \} \quad \cdots ③ \\ y+x=k\{ (x+y) – (x^3+y^3) \} \quad \cdots ④ \end{cases}$

③、④より、①、②が加減法で作れるので、同値関係となる。

つまりこの式を満たすkの条件を満たせば、題意を示せたと言える。

③、④を変形して

$\Longrightarrow \begin{cases} k(x-y)\{ 1 – (x^2+xy+y^2) + \frac{1}{k} \}=0 \quad \cdots ③ \\ k(x+y)\{ 1 – (x^2-xy+y^2) – \frac{1}{k} \}=0 \quad \cdots ④ \end{cases}$

$k \neq 0 ,\quad x \gt 0, \quad y \gt 0 ,\quad x\neq y$より、

$\Longrightarrow \begin{cases} 1 – (x^2+xy+y^2) + \frac{1}{k} =0 \quad \cdots ③’ \\ 1 – (x^2-xy+y^2) – \frac{1}{k} =0 \quad \cdots ④’ \end{cases}$

$\Longrightarrow \begin{cases} x^2+y^2+xy =1+ \frac{1}{k} \quad \cdots ③’ \\ x^2+y^2-xy = 1- \frac{1}{k} \quad \cdots ④’ \end{cases}$

同値関係から

$\Longrightarrow \begin{cases} x^2+y^2=1 \quad \cdots ⑤ \\ xy = \frac{1}{k} \quad \cdots ⑥ \end{cases}$

を満たせばよい。

⑤は円の式、⑥は反比例の式となり、これをグラフに表すと、

となる。

この2曲線が交わる時に解が存在する。

$k=\frac{1}{2}$の時

となり、$(x,y)=(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}})$が解となる。

例題の範囲を満たさない。

よって、$0 \lt k \lt \frac{1}{2}$