円と線
1.円と接線
接線の式
① 円周上の点 (x_1,y_1) における接線の方程式
\quad (x-a)^2+(y-b)^2 = r^2 の時
\quad (x_1-a)(x-a) + (y_1-b)(y-b) = r^2② 円 (x-a)^2+(y-b)^2 = r^2 の傾き m の接線の方程式
\quad y-b=m(x-a) \pm r \sqrt{m^2+1}
例題1
円 x^2+y^2 = r^2 の傾き m の接線の方程式が
\quad y=mx \pm r \sqrt{m^2+1}となる事を証明してください。
解答).
直線 y=mx+b と円 x^2+y^2=r^2 より yを消去して
\quad \quad \begin{align} & x^2+(m+b)^2 = r^2 \\ & (m^2+1)x^2 + 2mbx + b^2 -r^2 = 0 \end{align}接するため
\quad \begin{align} & D=0 \\ & \to \quad m^2 b^2 -(m^2+1)(b^2-r^2) = 0 \\ & \to \quad b^2=r^2(1+m^2) \end{align}
よって、接線の式は
\quad y=mx \pm r \sqrt{m^2+1}
2.円と直線
円と直線との交点を通る円
直線 ax+by+c=0 と 円 x^2+px + y^2 +qy +r = 0 が交わる時
この交点を通る円は
\quad (x^2+px + y^2 +qy +r ) + k(ax+by+c) = 0
円と直線との位置関係
直線 lx+my + n =0 と円 (x-a)^2+(y-b)^2 = r^2 において
① 代入法により、出来た1元2次方程式について
\quad \begin{align} & D \gt 0 \quad \Longleftrightarrow \quad 異なる2組の実数解(異なる2点で交わる) \\ & D = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad 重複解を持つ(接する) \\ & D \lt 0 \quad \Longleftrightarrow \quad 虚数解を持つ(共有点がない) \end{align}② 円の中心 (a,b) と直線との距離をdとすると
\quad \begin{align} & d \lt r \quad \Longleftrightarrow \quad 異なる2点で交わる \\ & d = r \quad \Longleftrightarrow \quad 接する \\ & d \gt r \quad \Longleftrightarrow \quad 共有点がない \\ \end{align}
