円と線
1.円と接線
接線の式
① 円周上の点 \((x_1,y_1)\) における接線の方程式
\(\quad (x-a)^2+(y-b)^2 = r^2\) の時
\(\quad (x_1-a)(x-a) + (y_1-b)(y-b) = r^2 \)② 円 \((x-a)^2+(y-b)^2 = r^2\) の傾き m の接線の方程式
\(\quad y-b=m(x-a) \pm r \sqrt{m^2+1}\)
例題1
円 \(x^2+y^2 = r^2\) の傾き m の接線の方程式が
\(\quad y=mx \pm r \sqrt{m^2+1}\)となる事を証明してください。
解答).
直線 \(y=mx+b\) と円 \(x^2+y^2=r^2\) より yを消去して
\(\quad \quad \begin{align}& x^2+(m+b)^2 = r^2 \\
& (m^2+1)x^2 + 2mbx + b^2 -r^2 = 0
\end{align}\)
接するため
\(\quad \begin{align}
& D=0 \\
& \to \quad m^2 b^2 -(m^2+1)(b^2-r^2) = 0 \\
& \to \quad b^2=r^2(1+m^2)
\end{align}\)
よって、接線の式は
\(\quad y=mx \pm r \sqrt{m^2+1}\)
2.円と直線
円と直線との交点を通る円
直線 \(ax+by+c=0\) と 円 \(x^2+px + y^2 +qy +r = 0\) が交わる時
この交点を通る円は
\(\quad (x^2+px + y^2 +qy +r ) + k(ax+by+c) = 0\)
円と直線との位置関係
& D \gt 0 \quad \Longleftrightarrow \quad 異なる2組の実数解(異なる2点で交わる) \\
& D = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad 重複解を持つ(接する) \\
& D \lt 0 \quad \Longleftrightarrow \quad 虚数解を持つ(共有点がない)
\end{align}\)
& d \lt r \quad \Longleftrightarrow \quad 異なる2点で交わる \\
& d = r \quad \Longleftrightarrow \quad 接する \\
& d \gt r \quad \Longleftrightarrow \quad 共有点がない \\
\end{align}\)
直線 \(lx+my + n =0\) と円 \((x-a)^2+(y-b)^2 = r^2\) において
① 代入法により、出来た1元2次方程式について
\(\quad \begin{align}& D \gt 0 \quad \Longleftrightarrow \quad 異なる2組の実数解(異なる2点で交わる) \\
& D = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad 重複解を持つ(接する) \\
& D \lt 0 \quad \Longleftrightarrow \quad 虚数解を持つ(共有点がない)
\end{align}\)
② 円の中心 \((a,b)\) と直線との距離をdとすると
\(\quad \begin{align}& d \lt r \quad \Longleftrightarrow \quad 異なる2点で交わる \\
& d = r \quad \Longleftrightarrow \quad 接する \\
& d \gt r \quad \Longleftrightarrow \quad 共有点がない \\
\end{align}\)
