対数

$a$ を1でない正の数とし、$a^m = M$ とするとき、$mをa$ を底とする$M$ の対数という。

$$a^m = M \quad \longleftrightarrow m = \log_a M \quad \quad (a > 0 ,\quad a\neq 1,\quad M > 0)$$

$M$ は対数 $m$ の真数という。真数は常に正である。

特に底が10である対数を常用対数という。

習慣として、常用対数は底10を省略して、

$m= \log M$

とかく。

※ $a>0,\quad a\neq1,\quad M>0,\quad N>0$ とする。

(1). $\log_a a =1, \quad \log_a 1 = 0$

(2). $\log_a MN = \log_a M + \log_a N$

(3). $\log_a \frac{M}{N} = \log_a M -\log_a N$

(4). $\log_a M^k = k \log_a M$

(5). $\large{ \log_a M = \frac{\log_b M}{\log_b a} } \quad (底の変換公式)$

(6). $a^{\log_a M} = M$

① 対数関数

　$a>0,\quad a\neq 1$ の時、関数 $y=\log_a x$ を

　$a$ を底とする $x$の対数関数という。

② 対数関数のグラフ

$y=\log_a x$ のグラフについて

$(1).\quad a>1$ の時、増加関数。

$\quad \quad \quad 0 < a < 1$ の時、減少関数。

$(2).\quad x$ 軸と (1,0)で交わる。

$(3).\quad y軸が漸近線になる。$

$(4).\quad y=a^x$ のグラフと直線 $y=x$ に関して対称である。

① 常用対数

　底が10のときの対数を常用対数という。

　底の10を小りゃあくして、$\log_10 2$ を $\log 2$ と書く事がよくある。

② 常用対数の値

　$log 10 = 1,\quad \log 100 = 2, \quad \log 0.1 = -1 ,\quad \log 0.01 = -2$

　$log 2 \approx 0.3010,\quad \log 3 \approx 0.4771$

　常用対数の値はよく使うので、常用対数表がある。

③ 桁数の求め方

　$\alpha,\quad \beta$ を正の整数とする。

　(1). $\alpha \le \log x < \alpha +1 \quad \cdots \cdots x$ の整数部分は $\alpha+1$ 桁

　(2). $-\beta \le \log x < -\beta +1 \quad \cdots \cdots x$ は小数第 $\beta$ 位にはじめて 0 でない数が現れる。