関数の極限 と 微分係数
1.関数の極限
関数 f(x) において、
x がある値a に限りなく近づく時（ a ではない）
f(x) が ある定数 b も限りなく近づく
ならば、この bをx が限りなく a に近づいた時の
関数 f(x) の極限値といい、次のように表す。
x \to a の時、 \quad f(x) \to b
または
\lim_{ x \to a} f(x) = b
f(x) = \frac{1}{x} + 2 について
(1). x \to 1 の時、 f(x) の極限値を求めよ。
(2). x \to \frac{1}{2} の時、 f(x) の極限値を求めよ。
例題(1).
\lim_{x \to 1} \frac{1}{x} + 2 = \frac{1}{1}+2 = 3
例題(2).
\lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{1}{x} + 2 = \frac{1}{\frac{1}{2}}+2 = 4
x \to a の時、関数 f(x),g(x) \to 0 となる時、
\lim_{x \to a} \frac{g(x)}{f(x)} = \frac{0}{0}
という形になるが、このような形を不定形という。
他にも、不定形の形として、次の形がある。
\frac{\infty}{\infty},\quad 0\times \infty, \quad \infty – \infty
— よく出る解き方 —
① 分数式では、分母分子を x-a で約分してみる。
② 無理式では有利化して、 x-a で約分してみる。
(1). \lim_{x \to 2} (x-1)(x^2+1)
(2). \lim_{x \to 1} \frac{x^2-2x-3}{x^2+3x+2}
(3). \lim_{x \to -1} \frac{x^2-2x-3}{x^2+3x+2}
(4). \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+1}-1}{x}
(5). \lim_{x \to 6} \frac{x-6}{\sqrt{x-2}-2}
例題(1).
\lim_{x \to 2} (x-1)(x^2+1) = (2-1)(2^2+1) = 5
例題(2).
\lim_{x \to 1} \frac{x^2-2x-3}{x^2+3x+2} = \frac{1^2-2\cdot 1 -3}{1^2+3\cdot 1 + 2}
= -\frac{2}{3}
例題(3).
\lim_{x \to -1} \frac{x^2-2x-3}{x^2+3x+2} = \lim_{x \to -1} \frac{(x+1)(x-3)}{(x+1)(x+2)}
= \lim_{x \to -1} \frac{x-3}{x+2} = \frac{-1-3}{-1+2} = -4
例題(4)
\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+1}-1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{x+1}-1)(\sqrt{x+1}+1)}{x(\sqrt{x+1}+1)}
= \lim_{x \to 0} \frac{x}{x(\sqrt{x+1}+1)} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{ \sqrt{x+1}+1}
= \frac{1}{\sqrt{0+1}+1} = \frac{1}{2}
例題(5).
\lim_{x \to 6} \frac{x-6}{\sqrt{x-2}-2} = \lim_{x \to 6} \frac{(x-6)(\sqrt{x-2}+2)}{(\sqrt{x-2}-2)(\sqrt{x-2}+2)}
= \lim_{x \to 6} \frac{(x-6)(\sqrt{x-2}+2)}{x-6} = \lim_{x \to 6} \sqrt{x-2}+2
= \sqrt{6-2}+2=4
2.平均変化率
関数 y=f(x) において、 x が aからb まで変化する時、
y の変化 f(b)-f(a) との比
\frac{f(b)-f(a)}{b-a}
を「 y=f(x) の xがaからb まで変化する時の平均変化率 」と言う。
また、 aとb の差を \Delta x とすると、 b= a + \Delta x となるので、
\frac{f(a + \Delta x) -f(a) }{\Delta x}
と表せる。
y=f(x)=x^2 の時、次の問に答えよ。
(1). x が1から3 まで変化した時の平均変化率。
(2). x が2から5 まで変化した時の平均変化率。
例題(1).
\frac{f(3)-f(1)}{3-1} = \frac{3^2-1^2}{3-1} = 4
例題(2).
\frac{f(5)-f(2)}{5-2} = \frac{5^2-2^2}{5-3} = \frac{21}{2}
3.微分係数
関数 f(x) において、次の極限値が存在する時、
これを x=x_1 における f(x) の微分係数といい、 f'(x_1) と表す。
\begin{eqnarray} f'(x_1 ) &=& \lim_{x_2 \to x_1 } \frac{ f(x_2) – f(x_1) }{ x_2 – x_1 } \\ &=& \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_1 + \Delta x) – f(x_1)}{\Delta x} \\ \end{eqnarray}
— 微分可能 —
関数 f(x) が x=x_1 について微分係数を持つとき、
f(x) は 「 x=x_1 で微分可能 」であるという。
また、
関数 f(x) が ある区間内の全ての x の値で微分可能であるとき、
f(x) は 「その区間で微分可能」であるという。
関数 f(x) の x=a における微分係数 f'(a) は、
図形的には点 ( a,f(a) ) における、曲線 y=f(x) の接線の傾きを表す。
— 実際の値で見てみる —
例えば、下記のように放物線 y=x^2 上の点A (1,1) と
もう一つ放物線上に点B (a,a^2) がある時、 a の変化により、
どのように変わるかを見てください。
※ グラフ下のスライダーで a の値を動かせます。
x が 1 から a= 0 まで変化する時の
関数 f(x) の「 平均変化率 」は
\displaystyle \lim_{x \to a}\frac{f(1)-f(x)}{1-x} = 1
となり、直線ABの傾きを表している。
f(x) = x^2+x について、次の問いに答えよ。
(1). x=1 における f(x) の微分係数 f'(1) を求めよ。
(2). x=a における f(x) の微分係数 f'(a) を求めよ。
例題(1).
\displaystyle f'(1) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}
\displaystyle = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{ ( (1+\Delta x)^2 + (1+\Delta x) ) – (1^2+1)}{\Delta x}
\displaystyle = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{ \Delta x^2 +3\Delta x }{\Delta x}
\displaystyle = \lim_{\Delta x \to 0} \Delta x + 3
\displaystyle = 3
例題(2).
\displaystyle f'(a) =\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}
\displaystyle = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{ ( (a+\Delta x)^2+ (a+\Delta x) ) – (a^2+a)}{\Delta x}
\displaystyle = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{ \Delta x^2 +(2a+1)\Delta x }{\Delta x}
\displaystyle = \lim_{\Delta x \to 0} \Delta x + 2a +1
\displaystyle = 2a+1
