センター数学便利知識②
※ 今回は特定の問題で、出来るだけ早く解が導出できる方法を紹介しています。
他の方法の方が早いやって人は、他の方法で解いてください。
あと、センター試験にはあまり出てこないかも(;^ω^)
1.大きい数の因数分解
基本的に、\( x^2 +2ax +b \) のように、2項目が偶数の時に使いやすい方法です。
① 平方完成をすることで、\( (x+a)^2 -d^2 \) の形に大体なります。
② 次に、\( (x+a+d)(x+a-d) \) とすれば、因数分解できます。
※ 目的の形にならなければ、諦めて解の公式を使いましょう。
※ そんなん使わなくても普通に分解する方が早いわって方は、自力の方が良いです。
次の2次方程式を解きなさい。。
(1). \( x^2 -12x -864 =0 \)
(2). \( x^2 +10x -299 =0 \)
(3). \( x^2 -14x -851 =0 \)
例題(1).
\( x^2 -12x -864 = (x-6)^2 -36 -864\)
\( =(x-6)^2 -30^2 = (x-6+30)(x-6-30) = (x+24)(x-36) \)
よって、
\( x = -24,36 \)
例題(2).
\( x^2 +10x -299 = (x+5)^2 -25 -299\)
\( =(x+5)^2 -18^2 = (x+5+18)(x+5-18) = (x+23)(x-13) \)
よって、
\( x = -23,13 \)
例題(3).
\( x^2-14-851 = (x-7)^2 -49 -851 \)
\( = (x-7)^2 -30^2 = (x-7+30)(x-7-30) = (x+23)(x-37) \)
よって、
\( x= -23,37 \)
2.3次方程式の因数分解
3次方程式 \( ax^3+b^2+cx+d = 0 \quad (a \neq 0) \)
の3つの解を \( \alpha ,\beta \gamma \) とすると、
\[ \alpha + \beta + \gamma = -\frac{\beta}{\alpha} \quad (1つの数の和) \]
\[ \alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = \frac{c}{a} \quad (2つの積の和) \]
\[ \alpha \beta \gamma = -\frac{d}{a} \quad (3つの積) \]
となります。
3次方程式の1つの解が、複素数の時に解と係数の関係を用いれば、早く解ける方法です。
他の解き方として、
① 1つの解を代入して、複素数の実数部の値が0という等式を作る。
② 1つの複素数の解と共役複素数が解となる2次関数で、関数を割る方法。
がありますが、ここでは紹介しません。
3次方程式 \( x^3 + bx^2 + cx + d =0\) の1つの解が \( x=1+i \) の時、次の問に答えよ。
ただし、\( b,c,d \) は実数とする。
(1). \( b= -5 \) の時、\( c,d \) を求めよ。
(2). 他の解が、\( x = -4 \) の時、\( b,c,d \) を求めよ。
(3). 他の解が、\(x = \alpha\)の時、\( \alpha \) を
\( b \)のみの等式、\( c \)のみの等式、\( d \)のみの等式に表し、
\(b , c , d\) の関係式を示せ。
解が複素数なので、もう1つの解は \( x=1-i \) となります。
例題(1).
解と係数の関係より、最後の解を \( \beta \) とすると、
\( (1+i)+ (1-i) + \beta = -(-5) \)
\( (1+i)(1-i) + (1+i)\cdot \beta + \beta \cdot (1-i) = c \)
\( (1+i) \cdot (1-i) \cdot \beta = -d \)
1つ目の式から、(\beta = 3) となり、
\( \beta = 3 \) を2式目、3式目にいれて、\(c,d\)を求める。
\( c= 8 ,\quad d = -6 \)
例題(2).
解と係数の関係より、
\( (1+i)+ (1-i) + -4 = -b \)
\( (1+i)(1-i) + (1+i)\cdot (-4) + (-4) \cdot (1-i) = c \)
\( (1+i) \cdot (1-i) \cdot (-4) = -d \)
よって、
\( \beta = 2 ,\quad c = -6 , \quad d = 8 \)
例題(3).
解と係数の関係より、
\( (1+i)+ (1-i) + \alpha = -(-5) \)
\( (1+i)(1-i) + (1+i)\cdot \alpha + \alpha \cdot (1-i) = c \)
\( (1+i) \cdot (1-i) \cdot \alpha = -d \)
よって、これらを \( \alpha \) の等式で示すと、
\( \alpha = -b -2 = -\frac{d}{2} = \frac{c}{2} -1 \)
3.2重根号の外し方
\( A,B,\alpha,\beta \) を正の実数とする。\( (\alpha > \beta) \)
\( A^2 -4B \ge 0 \) の時、次のように二重根号が外せる。
① \( \sqrt{A \pm 2\sqrt{B}} \)
\( x^2 -Ax + B = 0 \) の解を
\( \alpha ,\quad \beta \) とすると、
\( \sqrt{A \pm 2\sqrt{B}} = \sqrt{\alpha} \pm \sqrt{B} \)
となる。
② \( \sqrt{A \pm \sqrt{B}} \)
\( \frac{2\sqrt{A \pm 2\sqrt{B}}}{\sqrt{2}} \) として、
\( x^2 -2Ax + B = 0 \) の解を
\( \alpha,\quad \beta \) とすると、
\( \sqrt{A \pm \sqrt{B}} = \frac{1}{\sqrt{2}} ( \sqrt{\alpha} \pm \sqrt{\beta} ) \)
となる。
① \( \sqrt{A \pm 2\sqrt{B}} \) について、元々2重根号を外したいので、
\( A \pm 2\sqrt{B}= (\sqrt{\alpha} \pm \sqrt{\beta})^2 \)
の形にしたい。右辺を展開させて、
\( A \pm 2\sqrt{B}= ( \alpha + \beta ) \pm 2\sqrt{\alpha \beta} \)
となるので、\( A= \alpha + \beta \) 、 \( B=\alpha \beta \)
という等式ができる。解と係数の関係から、
解が \( \alpha , \beta \) となる2次関数の式は
\( x^2 -Ax +B =0 \) となる。
②に関しても同じ考えで証明できる。
ちなみに①の外す方法として、\( ( – ( \sqrt{\alpha} \pm \sqrt{\beta} ) )^2 \)
等も計算上は成り立つが、\( \sqrt{A\pm2\sqrt{B}} > 0 \) なので、負の時は成り立たない。
(1). \( \sqrt{10+2\sqrt{21}} \)
(2). \( 2 \sqrt{2-\sqrt{3}} \)
(3). \( \sqrt{4-\sqrt{15}} \)
例題(1).
\( x^2 -10x +21 = 0 \) の解は
\( x= 7, 3 \)
となるので、
\( \sqrt{10+2\sqrt{21}} = \sqrt{7} +\sqrt{3} \)
例題(2).
\( 2 \sqrt{2-\sqrt{3}} = \sqrt{8 – 2 \sqrt{12}} \)
と変形します。
\( x^2 -8x +12 = 0 \) の解は
\( x = 6 , 2 \)
となるので、
\( \sqrt{8 – 2 \sqrt{12}} = \sqrt{6} – \sqrt{2} \)
例題(3).
\( \sqrt{4-\sqrt{15}} = \frac{1}{\sqrt{2}} ( \sqrt{ 8 -2\sqrt{15} } )\)
と変形します。
\( x^2 -8x +15 = 0 \) の解は
\( x= 5,3 \)
となるので、
\( \frac{1}{\sqrt{2}} ( \sqrt{ 8 -2\sqrt{15} } = \frac{1}{\sqrt{2}} (\sqrt{5} – \sqrt{3} ) \)
