センター数学便利知識②
※ 今回は特定の問題で、出来るだけ早く解が導出できる方法を紹介しています。
他の方法の方が早いやって人は、他の方法で解いてください。
あと、センター試験にはあまり出てこないかも(;^ω^)
1.大きい数の因数分解
基本的に、 x^2 +2ax +b のように、2項目が偶数の時に使いやすい方法です。
① 平方完成をすることで、 (x+a)^2 -d^2 の形に大体なります。
② 次に、 (x+a+d)(x+a-d) とすれば、因数分解できます。
※ 目的の形にならなければ、諦めて解の公式を使いましょう。
※ そんなん使わなくても普通に分解する方が早いわって方は、自力の方が良いです。
次の2次方程式を解きなさい。。
(1). x^2 -12x -864 =0
(2). x^2 +10x -299 =0
(3). x^2 -14x -851 =0
例題(1).
x^2 -12x -864 = (x-6)^2 -36 -864
=(x-6)^2 -30^2 = (x-6+30)(x-6-30) = (x+24)(x-36)
よって、
x = -24,36
例題(2).
x^2 +10x -299 = (x+5)^2 -25 -299
=(x+5)^2 -18^2 = (x+5+18)(x+5-18) = (x+23)(x-13)
よって、
x = -23,13
例題(3).
x^2-14-851 = (x-7)^2 -49 -851
= (x-7)^2 -30^2 = (x-7+30)(x-7-30) = (x+23)(x-37)
よって、
x= -23,37
2.3次方程式の因数分解
3次方程式 ax^3+b^2+cx+d = 0 \quad (a \neq 0)
の3つの解を \alpha ,\beta \gamma とすると、
\alpha + \beta + \gamma = -\frac{\beta}{\alpha} \quad (1つの数の和)
\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = \frac{c}{a} \quad (2つの積の和)
\alpha \beta \gamma = -\frac{d}{a} \quad (3つの積)
となります。
3次方程式の1つの解が、複素数の時に解と係数の関係を用いれば、早く解ける方法です。
他の解き方として、
① 1つの解を代入して、複素数の実数部の値が0という等式を作る。
② 1つの複素数の解と共役複素数が解となる2次関数で、関数を割る方法。
がありますが、ここでは紹介しません。
3次方程式 x^3 + bx^2 + cx + d =0 の1つの解が x=1+i の時、次の問に答えよ。
ただし、 b,c,d は実数とする。
(1). b= -5 の時、 c,d を求めよ。
(2). 他の解が、 x = -4 の時、 b,c,d を求めよ。
(3). 他の解が、x = \alphaの時、 \alpha を
b のみの等式、 c のみの等式、 d のみの等式に表し、
b , c , d の関係式を示せ。
解が複素数なので、もう1つの解は x=1-i となります。
例題(1).
解と係数の関係より、最後の解を \beta とすると、
(1+i)+ (1-i) + \beta = -(-5)
(1+i)(1-i) + (1+i)\cdot \beta + \beta \cdot (1-i) = c
(1+i) \cdot (1-i) \cdot \beta = -d
1つ目の式から、(\beta = 3) となり、
\beta = 3 を2式目、3式目にいれて、c,dを求める。
c= 8 ,\quad d = -6
例題(2).
解と係数の関係より、
(1+i)+ (1-i) + -4 = -b
(1+i)(1-i) + (1+i)\cdot (-4) + (-4) \cdot (1-i) = c
(1+i) \cdot (1-i) \cdot (-4) = -d
よって、
\beta = 2 ,\quad c = -6 , \quad d = 8
例題(3).
解と係数の関係より、
(1+i)+ (1-i) + \alpha = -(-5)
(1+i)(1-i) + (1+i)\cdot \alpha + \alpha \cdot (1-i) = c
(1+i) \cdot (1-i) \cdot \alpha = -d
よって、これらを \alpha の等式で示すと、
\alpha = -b -2 = -\frac{d}{2} = \frac{c}{2} -1
3.2重根号の外し方
A,B,\alpha,\beta を正の実数とする。 (\alpha > \beta)
A^2 -4B \ge 0 の時、次のように二重根号が外せる。
① \sqrt{A \pm 2\sqrt{B}}
x^2 -Ax + B = 0 の解を
\alpha ,\quad \beta とすると、
\sqrt{A \pm 2\sqrt{B}} = \sqrt{\alpha} \pm \sqrt{B}
となる。
② \sqrt{A \pm \sqrt{B}}
\frac{2\sqrt{A \pm 2\sqrt{B}}}{\sqrt{2}} として、
x^2 -2Ax + B = 0 の解を
\alpha,\quad \beta とすると、
\sqrt{A \pm \sqrt{B}} = \frac{1}{\sqrt{2}} ( \sqrt{\alpha} \pm \sqrt{\beta} )
となる。
① \sqrt{A \pm 2\sqrt{B}} について、元々2重根号を外したいので、
A \pm 2\sqrt{B}= (\sqrt{\alpha} \pm \sqrt{\beta})^2
の形にしたい。右辺を展開させて、
A \pm 2\sqrt{B}= ( \alpha + \beta ) \pm 2\sqrt{\alpha \beta}
となるので、 A= \alpha + \beta 、 B=\alpha \beta
という等式ができる。解と係数の関係から、
解が \alpha , \beta となる2次関数の式は
x^2 -Ax +B =0 となる。
②に関しても同じ考えで証明できる。
ちなみに①の外す方法として、 ( – ( \sqrt{\alpha} \pm \sqrt{\beta} ) )^2
等も計算上は成り立つが、 \sqrt{A\pm2\sqrt{B}} > 0 なので、負の時は成り立たない。
(1). \sqrt{10+2\sqrt{21}}
(2). 2 \sqrt{2-\sqrt{3}}
(3). \sqrt{4-\sqrt{15}}
例題(1).
x^2 -10x +21 = 0 の解は
x= 7, 3
となるので、
\sqrt{10+2\sqrt{21}} = \sqrt{7} +\sqrt{3}
例題(2).
2 \sqrt{2-\sqrt{3}} = \sqrt{8 – 2 \sqrt{12}}
と変形します。
x^2 -8x +12 = 0 の解は
x = 6 , 2
となるので、
\sqrt{8 – 2 \sqrt{12}} = \sqrt{6} – \sqrt{2}
例題(3).
\sqrt{4-\sqrt{15}} = \frac{1}{\sqrt{2}} ( \sqrt{ 8 -2\sqrt{15} } )
と変形します。
x^2 -8x +15 = 0 の解は
x= 5,3
となるので、
\frac{1}{\sqrt{2}} ( \sqrt{ 8 -2\sqrt{15} } = \frac{1}{\sqrt{2}} (\sqrt{5} – \sqrt{3} )
