命題と条件
1.命題
命題とは
真偽の対象となる文章または式の事。
また命題が正しい時、真であるといい、命題が正しくない時、偽であるという。
例1).「偶数の2乗とは4の倍数である」は真である。
例2).「整数は自然数である」は偽である。
仮定と結論とは
数学の命題は「pならばq」に言い換えることが出来る。
この時、pを仮定、qを結論という。
例3).例1を言い換えると、「\(nが偶数である \quad \to \quad n^2は4の倍数である\)」となる。
「nが偶数である」が仮定、「\(n^2は4の倍数である\)」が結論である。
偽である事の証明
「\(p \to q\)」という命題が偽であることを証明するには、「pをみたすが、qをみたさない」例を1つあげればよい。
例4).「整数 ならば 自然数である」は偽である。
反例として、\(-4\)は整数であるが、自然数ではない。
逆と同値
命題「\(p \to q\)」に対して「\(q \to p\)」を逆という。
また「命題(\(p \to q\))」も「命題の逆(\(q \to p\))」も真であるとき、同値である言い、「\(q \Longleftrightarrow p\)」と表す。
2.必要条件と十分条件
必要条件と十分条件
命題「pならばq (p ⇒ q) である。」が真のとき
「qはpであるための必要条件である。」と言い、
「pはqであるための十分条件である。」と言う。
また「\(p \Longleftrightarrow q\)」の時、つまり同値の時「pはqであるための必要十分条件である」と言う。
イメージ
※上の説明が分かる人は見なくてもよい。
「\(p \to q \)」が真であるとき、qは十分条件である。のイメージです。
3.関連
関連 >> 命題と条件・基本問題1
