指数関数・対数関数の利用
1.指数方程式
① 指数方程式とは
指数に \( x \) 等を含む方程式の事。
② 指数方程式の解法
(1).\( a^{f(x)} = a^{g(x)} \) の形に整理して、両辺の対数をとる。
(2).\( a^{f(x)} = b^{g(x)} \) の形に整理して、両辺の対数を取り、
\( f(x) \log a = g(x) \log b \) を解く。
(3).\( a^x = X \) と置き、\( X > 0 \) に注意して、\( X \) についての方程式を解く。
次の式を \( x \) について解け。
(1). \( 5^{x} = (\frac{1}{5})^{3x-2} \)
(2). \( 3^x = 5^{2x-3} \)
(3). \( 3^{2x} -27 = 6\cdot 3^x \)
例題(1).
\( 5^{x} = 5^{-(3x-2)} \) となるので、
\( x= -(3x-2) \quad \Longleftrightarrow \quad ∴ x=\frac{1}{2} \)
例題(2).
両辺の対数(底は10)を取ると、
\( x \log 3 = (2x-3) \log 5 \)
\( (\log 3 -2 \log 5)x = -3 \log 5 \)
\( ∴ x= \large{\frac{3 \log 5}{2 \log 5 -\log 3} }\)
例題(3).
\( 3^x = t \) と置くと
\( t^2 -6t -27 = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad (t+3)(t-9)=0 \)
\( t > 0 \) なので、\( t=9 \)
よって、\(x=2\)
2.指数不等式
① 指数不等式とは
指数に \( x \) 等を含む不等式を指数不等式という。
② 指数不等式の解法
\( a^{f(x)} > a^{g(x)} \) の形に整理して
(1).\( a>1 \) の時、 \( f(x) > g(x) \)
(2).\( 0< a < 1 \) の時、\( f(x) < g(x) \)
次の指数不等式を解け。
(1). \( 2^{2x} -8 > 2^{x+1} \)
(2). \( a^x > a^{4-x} \quad \quad (a > 0,\quad a\neq 0)\)
(3). \( (\frac{1}{16})^{x-1} > 2^{3x^2} \)
解答(1).
\( 2^x = t \quad ( > 0 ) \) と置くと、
\( t^2 -2t -8 > 0 \quad \Longleftrightarrow \quad (t-4)(t+2) > 0 \)
よって、
\( t > 4 \quad \Longleftrightarrow \quad x > 2 \)
解答(2).
\( a>1 \) の時、\( x > 4-x \quad ∴ x > 2 \)
\( 0 < a < 1 \) の時、\( x < 4-x \quad ∴ x < 2 \)
3.対数方程式
① 対数方程式とは
対数の真数または底に \( x \) などを含む方程式を対数方程式という。
② 対数方程式の解法
(1). \( \log_a f(x) = \log_a g(x) \) の形に整理して、\( f(x) = g(x) \) を解く。
\( (ただし、a>0),\quad a\neq 1,\quad 真数>0 \)
(2).\( \log_a x = X \) と置き、\( X \) についての方程式を解く。
(1).\( \log_{10} (x+5) + \log_10 (x-5) = 2\)
(2). \( \log_x 4 -\log_2 x = 1 \)
例題(1).
\( \log_{10} (x+5) + \log_{10} (x-5) = 2\)
\( log_{10} (x+5)(x-5) = log_{10} 10^2 \)
真数条件より、\( x-5 > 0 \quad \Longleftrightarrow \quad x>5 \) を注意して、
\( x^2 -25 = 100 \quad \Longleftrightarrow \quad ∴ x = 5\sqrt{5} \)
解答(2).
\( \log_x 4 -\log_2 x = 1 \)
\( \frac{2}{\log_2 x} – \log_2 x = 1 \)
\( \log_2 x = t \) と置くと、
\( \frac{2}{t} – t = 1 \)
式変形して、
\( t^2+t-2 = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad (t+2)(t-1) = 0\)
\( ∴ \log_2 x = -2,1 \)
\( ∴ x = \frac{1}{4},2 \)
4.対数不等式
① 対数不等式とは
対数の真数または底に \( x \) などを含む不等式を対数不等式という。
② 対数不等式の解法
\( \log_a f(x) > \log_a g(x) \) の形に整理して
(1).\( a>1 \) の時、\( f(x) > g(x) \)
(2).\( 0 , a < 1 \) の時、\( f(x) < g(x) \quad (ただし、真数 > 0 ) \)
③ 対数関数の最大・最小
(1).真数の最大、最小を考え、底と1との大小に注意して求める。
(2).\( \log_a x = X \) と置き、\( X \) の関数として最大、最小を考える。
(1).\( 2\log_{0.1} (x-1) > \log_{0.1} (7-x) \)
(2).\( 2(\log_{10} x)^2 -5 \log_{10} x +2 \le 0 \)
例題(1).
真数条件から
\( x-1 > 0 , \quad 7-x > 0 \Longleftrightarrow 1 < x < 7 \)
それと底が \( 0 < 0.1(底) < 1 \) という事を注意して
\( (x-1)^2 < 7-x \)
整理して、
\( x^2-x-6 < 0 \quad \Longleftrightarrow \quad (x+2)(x-3) < 0 \)
よって、真数条件に注意すると
\( 1 < x < 3 \)
例題(2).
真数条件から \( x > 0 \)
\( \log_{10} x = t \) と置くと、
\( 2t^2 -5t+2 \le 0 \quad \Longleftrightarrow \quad (2t-1)(t-2) \le 0 \)
となるので
\( \frac{1}{2} \le t \le 2 \quad \Longleftrightarrow \quad \frac{1}{2} \le \log_{10} x \le 2 \)
\( \log_{10} \sqrt{10} \le \log_{10} x \le log_{10} 100 \)
底 > 1 なので、
\( \sqrt{10} \le x \le 100 \)
