2次関数
1.2乗に比例する関数
次数が2の単項式で表される関数。
① 原点を頂点として通る。
② \(y=ax^2\)と表される時、y軸に線対称の放物線である。
③ 変化の割合が一定ではない。
2.2次関数
最高次数が2の多項式で表される関数。
\(y=ax^2+bx+c \quad (a \neq 0)\)
\(y=ax^2+bx+c \quad (a \neq 0)\)について
\(\begin{align}① \quad & a \gt 0 の時、下に凸。 \\ & a \lt 0 の時、上に凸。\\ \end{align}\) \(\begin{align}② \quad & a \gt 0 の時、最小値がある。 \\ & a \lt 0 の時、最大値がある。 \end{align}\)③ 頂点は\((x,y)=(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})\)。
④ 軸\( x=-\frac{b}{2a} \)に対して線対称。
⑤ \(y=0\)の時の二次方程式の解は、\(x\)軸と交わる座標。
関連 >> グラフの書き方
例①②-1).\(y=2x^2-4x\)のグラフを描く。
① 下に凸なのが分かる。
② 最小値がある。
例①②-2).\(y=-2x^2-4x\)のグラフを描く。
① 上に凸なのが分かる。
② 最大値がある。
例③).\(y=ax^2+bx+c\)の頂点について
\(\begin{align} y &= ax^2+bx+c \\ &= a(x^2+\frac{b}{a}x)+c \\ &= a(x+\frac{b}{2a})^2 -\frac{b^2-4ac}{4a} \end{align}\)よって、頂点は
\((x,y)=(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})\)
例④).\( ( \alpha ) . x=s-\frac{b}{2a} \quad , \quad ( \beta ) . {2a}x=-s-\frac{b}{2a}\)の時の、\(y\)の値を求める。
\( ( \alpha ) .x=s-\frac{b}{2a} \)の時、
\(\begin{align} y &= a(s-\frac{b}{2a}+\frac{b}{2a})^2 -\frac{b^2-4ac}{4a} \\ &= as^2 -\frac{b^2-4ac}{4a} \end{align}\)\( ( \beta ) .x=-s-\frac{b}{2a} \)の時、
\(\begin{align} y &= a(-s-\frac{b}{2a}+\frac{b}{2a})^2 -\frac{b^2-4ac}{4a} \\ &= as^2 -\frac{b^2-4ac}{4a} \end{align}\)軸から同距離\(sの位置で同じyの値なので\)軸に対して、線対称なのが分かる。
例⑤).\(y=ax^2+bx+c=0\)の時、当然x軸と交わる。
3.放物線と直線
\(放物線(y=ax^2+b)と直線(y=mx+n)\)の交点を求める。
\(ax^2+b = mx +n \quad\)の解が交点のx座標になります。
解を\(x=p,q\)とすれば、交点の座標は、
\(A(p,ap^2+b)とB(q,aq^2+b)\)である。
ある二つの曲線や直線の交点を求める際に、=で式を結んで解を求める事が多いです。
その理由を説明していきます。
放物線\(y=ax^2+b\)と直線\(y=mx+n\)があります。
仮の交点の\(x座標をx=p,q\)とする。
\(x=p\)では、放物線と直線のy座標は同じなので
\(ap^2+b = mp+n\)同様に\(x=q\)の時も同じで
\(aq^2+b = mq+n\)なので、結局のところ
\(ax^2+b = mx+n\)を解くのと同じという事がわかる。
