立体の表面積と体積

by · 公開済み · 更新済み

1.角柱・円柱の表面積と体積

角柱・円柱の表面積と体積

底面の面積を底面積。側面全体の面積を側面積と言う。立体全体の表面全体の面積を表面積という。

① \(角柱・円柱の表面積=底面積\times2+側面\)

② \(角柱・円柱の表面積=底面の周の長さ\times高さ\)

③ \(角柱・円柱の体積=底面積\times高さ\)

   

例).3辺の長さが\(a,b,c\)の直方体がある。この直方体の表面積と体積を求める。

\(表面積=底面積\times2+側面積=(2ac)+(2ab+2bc)=2(ab+ac+bc)\)

 

\(体積=底面積\times 高さ=ac\times b = abc\)

 

2.角錐・円錐の表面積と体積

角錐・円錐の表面積と体積

\(① 角錐の表面積=底面積+側面積\)

\(② 円錐の表面積=底面積+(母線を半径とする円の面積)\times \frac{底面の半径 \quad}{母線の長さ \quad}\)

\(③ 角錐・ 円錐の体積=底面積\times 高さ\times \frac{1}{3}\)

 

展開図をイメージすると分かりやすい。

例).下記の円錐の表面積と体積を求める。

\(\begin{align}円錐の表面積 &= 底面積 + (母線を半径とする円の面積)\times \frac{底面の半径\quad}{母線の長さ \quad} \\ &= 3^2\pi + (5^2\pi)\times \frac{3}{5} \\ &= 9\pi+15\pi \\ &= 24\pi (cm^2) \end{align}\)

 

\(円錐の体積 = 3^2\pi\times 4\times \frac{1}{3} = 12(cm^3) \)

 

3.球の表面積と体積

球の表面積と体積

球の半径を\(r\)とする。

\(球の表面積 = 4\pi r^2 \)

\(球の体積 = \large{\frac{4\pi r^3}{3}} \)
理解を深める

◆球の表面積

中学生のレベルで分かりやすく説明している動画です。

円の面積の4倍（\(4\times \pi r^2\)）が球の表面積だと分かります。

 

◆球の体積

下記のように、球の中心\(O\)を頂点とした四角錘を考える。

   

今底面積\(S_1\)の四角錘を図示している。

この四角錘の体積は、球の半径を\(r\)とすると、

\(四角錘の体積 = \frac{1}{3}S_1 r\)

となる。球の体積はこの四角錘の体積の合計となるので、

\(\begin{align}球の体積 &= \frac{1}{3}S_1 r + \frac{1}{3}S_2 r + \frac{1}{3}S_3 r + \dots \\ &= \frac{1}{3}r(S_1 + S_2 + S_3 + \dots )\end{align}\)

となる事が分かる。この四角錘の底面積の合計は、分割のやり方から球の表面積に等しいことが分かる。

そのため

\(\begin{align}球の体積 &= \frac{1}{3}r(S_1 + S_2 + S_3 + \dots ) \\ &= \frac{1}{3}r\cdot 4\pi r^2 \\ &= \frac{4\pi r^3}{3}\end{align}\)

となる。

おすすめ