実数
1.数の分類
数の分類
\(実数 \mathbb{R} \begin{cases} 有理数 \mathbb{Q} \begin{cases} 整数\mathbb{Z} \begin{cases} 正の整数 (自然数) \mathbb{N} \\ 0 \\ 負の整数 \end{cases} \\ 有限小数 \\ 循環小数 \quad \dots 無限小数 \end{cases} \\ 無理数 \quad \dots 無限小数 \end{cases}\)
\(自然数の集合を\mathbb{N}、整数の集合\mathbb{Z}、有理数の集合を\mathbb{Q}、実数の集合を\mathbb{R}と表せば、\)
\( \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \)
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2.実数の基本性質
実数と四則
次の計算法則は実数に置いて成り立つ。
結合法則：\((a+b)+c = a+(b+c) \quad , \quad (ab)c=a(bc)\)
交換法則：\(a+b = b+a \quad , \quad ab = ba\)
分配法則：\(a(b+c) = ab+ac \quad , \quad (a+b)c=ac+bc\)
3.実数の絶対値
絶対値
\( |a|に関して \)
① \( |a| = \begin{cases} & a \quad ( a \geq 0 のとき ) \\ – & a \quad (a \lt 0 のとき) \end{cases} \)
② \( |a| = |-a| \quad , \quad |a|^2=a^2 \quad , \quad |ab| = |a| |b| \quad , \quad | \frac{b}{a} | = \frac{|b|}{|a|}\)
③ 2点\(P(a),Q(b)間の距離PQ\)は
\(\quad \quad PQ = |b-a|\)
4.有理数と無理数
無理数の相当関係
\(a,b,c,d\)が有理数で、\(\sqrt{m}\)が無理数のとき
① \(a+b\sqrt{m} = 0 \Longleftrightarrow a=b=0 \)
② \(a + b \sqrt{m} = c+d \sqrt{m} \Longleftrightarrow a=c,\quad b=d\)
