確率
1.場合の数
2つの事柄A,Bが同時に起こらない時、Aの起こる場合の数がm通り、Bの起こる場合の数をn通りの時
AまたはBのどちらかが起こる場合の数は、\((m+n)通り\)
例1).区別がつく、りんごが3個、みかんが4個ある。この中からどれか1つを選ぶ方法は何通りありますか。
今この中からどれか1つを選ぶ方法は、りんごが3通り、みかんが4通りある。
そのため、和の法則より、3+4=7通り
2つの事柄A,Bがあって、Aの起こる場合の数がm通り、それに対して、Bの起こる場合の数がn通りある時
A、Bが同時に起こる場合の数は、\((m\times n)通り\)
例2).サイコロを2回振ります。1回目の出目をA、2回目の出目をBとする。A,Bの出目の場合の数は何通りありますか。
Aは6通り、Bは6通りあるので、\(6\times 6 = 36通り\)
物事を順番に書き出し、場合の数を数えるテクニックです。
例3).裏表のあるコインがあり、2回コイントスをします。1回目の結果をA、2回目の結果をBとするときの場合の数は何通りありますか。
この時の樹形図は
となる。
そのため、場合の数は4通り。
いくつかのものを並べる時、順番に並べる並べ方を順列と言う。
一般に、異なるn個のものからr子取り出し、順番に並べる並べ方は、
\({}_n \mathrm{ P }_r = n\times (n-1)\times \dots (n-(r-1))\)特に\(n=r\)の時
\({}_n \mathrm{ P }_n =n! = n\times (n-1) \times \dots \times 2 \times 1 \)となります。
\(n!\)はnの階乗と言います。
例4).7人の生徒から3人を選び、順番に並べる並べ方は、
\(7\times 6 \times 5 = 210\)通り
並べ方を考えないで、メンバーだけを区別して選ぶ選び方を組み合わせと言う。
一般に異なるn個のものからr個選ぶ選び方は、
\({}_n \mathrm{ C }_r = \large{\frac{n\times (n-1) \times \dots (n-(r-1))}{r\times (r-1) \times (r-2) \times \dots 2 \times 1 }} = \large{\frac{{}_n \mathrm{ P }_r}{r !}}\) \( r ! = r\times (r-1) \times \dots \times 2 \times 1 \)となります。
例5).7人の生徒から3人を選ぶ方法は、
\(\frac{7\times 6 \times 5}{3\times 2\times 1} = 35\)通り
2.確率
ある事象が起こる割合の事。
例5).さいころを振る時、1の目が出る確率を求めなさい。
1から6まで、6通りの場合の数があり、同様に確からしく目が出るとすると
\(1の目が出る確率 = \frac{1の目が出る場合の数 \quad \quad }{全ての通りの数}=\frac{1}{6}\)
