確率の基本性質
1.事象と集合
試行の結果起こる事柄を事象という。
起こる全ての事象の集合を全事象といい、全体集合\(U\)で示す。
① 余事象：\(Aが起こらない事象\overline{A} を、Aの余事象という。\)
② 和事象：\(A、Bの少なくとも一方が起こる事象を和事象いい、A\cup B で表す。\)
③ 積事象：\(A、Bがともに起こる事象を積事象といい、A\cap Bで表す。\)
④ 空事象：\(決して怒らない事象を空事象\emptyset という。\)
P,Rさんの二人でじゃんけんを行う試行について、Pさんが勝つ事象をA、あいこの事象をB、負ける事象をCとする。
(1).全事象を示せ。
(2).Aの余事象を示せ。
(3).AとBの和事象を示せ。
(4).AとBの積事象を示せ。
回答).
(1).\(Aがグー、チョキ、パーで勝った事象を、A = \{w_{グー},w_{チョキ},w_{パー} \}、あいこの事象を、B = \{d_{グー},d_{チョキ},d_{パー} \}、負けの事象を、C = \{l_{グー},l_{チョキ},l_{パー} \}とすると、全事象Uは\)
\(U = \{w_{グー},w_{チョキ},w_{パー},d_{グー},d_{チョキ},d_{パー},l_{グー},l_{チョキ},l_{パー} \}\)となる。
(2).\(\overline{A}= \{ d_{グー},d_{チョキ},d_{パー},l_{グー},l_{チョキ},l_{パー} \}\)
(3).\(A \cup B = \{ w_{グー},w_{チョキ},w_{パー},d_{グー},d_{チョキ},d_{パー} \}\)
(4).\(A \cap B = \emptyset\)
2.確率の基本性質
① 任意の事象Aに対して、\(0 \leq P(A) \leq 1\)
② 全事象Uに対して、\(P(U) = 1\)
③ 空事象\(\emptyset\)に対して、\(P(\emptyset ) = 1\)
同時に起こらない事象の事です。
じゃんけんだと、勝ちと負けは同時に起こらない等。
\(AとBが互いに背反 \quad \Longleftrightarrow \quad A\cap B = \emptyset\)① \(P(A\cup B) = P(A) + P(B) -P(A \cap B )\)
② \(P(A\cup B \cup C) = P(A) + P(B) +P(C) -P(A \cap B ) -P(B \cap C ) -P(C \cap A ) +P(A \cap B \cap C)\)
・特に排反事象の場合（\(A,B,C\)が互いに排反とする場合）
\(P(A \cap B) =0,\quad P(A \cap B \cap C) = 0\)なので
① \(P(A\cup B) = P(A) + P(B)\)
② \(P(A\cup B \cup C) = P(A) + P(B) +P(C)\)
袋の中に白玉4個、赤玉が5個入っている。この袋の中から3個玉を取り出すとき、次の確立を求めよ。
① 3個とも同じ色の確立。
② 少なくとも1個が白玉である確率。
回答).
① A：白玉が3個の事象、B：赤玉が3個の事象、とするとAとBは排反なので
\(\begin{align} P(A\cup B) &= P(A)+P(B) \\ &= \frac{{}_4 C_3}{{}_9 C_3} +\frac{{}_5 C_3}{{}_9 C_3} \\ &= \frac{4}{84} + \frac{10}{84} = \frac{5}{42} \end{align}\)② \(C：少なくとも1個が白の余事象\overline{C}：3個とも赤玉\)なので、
\(\begin{align} P(C) = 1-P(\overline{C}) &= 1- \frac{{}_5 C_3}{{}_9 C_3} \\ &= 1- \frac{10}{84} \\ &= \frac{74}{84} = \frac{5}{42}\end{align}\)