直線と直線
1.2直線の関係
2直線の関係
2直線 \(a_1x+b_1y+c_1 = 0,\quad a_2x+b_2y+c_2 = 0\)の関係
① 平行条件： \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} \)
② 一致条件： \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} \)
③ 垂直条件： \( a_1a_2 = -b_1b_2\)
例題1
2直線 \((a+2)x+ay +5= 0,\quad x+ay +2 = 0\) が垂直になる \(a\) の値を求めよ。
解答).
\(\quad \begin{align} & (a+2)a + a &= 0 \\ &a(a+3)&=0 \\ & ∴ a= -3,0 \end{align}\)
2直線の関係 (別表記)
① 直線 \(ax+by+c=0\) に平行な直線は \(ax+by+k = 0\)
② 直線 \(ax+by+c=0\) に垂直な直線は \(bx -ay+l
=0\)
③ 点 \((x_1,y_1)\) を通る直線 \(ax+by+c=0\) について
平行：\(a(x-x_1)+b(y-y_1)=0\)
垂直：\(b(x-x_1)-a(y-y_1)=0\)
例題2
点 \((-4 ,3)\) を通り、直線 \( 2x-\sqrt{3}y-1 = 0 \) に平行な直線を求めよ。
解答).
\(\quad \begin{align} 2(x+4)-\sqrt{3}(y-3) &= 0 \\ 2x-\sqrt{3}y+(8+3\sqrt{3}) &= 0 \end{align}\)
2.3角形の面積
3角形の面積
\triangle OAB
&= \frac{1}{2}|(x_2-x_1)(y_3-y_1) – (x_3-x_1)(y_2-y_1)| \\
&= \frac{1}{2}|x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1) +x_3(y_1-y_2)|
\end{align}\)
① \(\triangle ABC\) について O を原点、\(A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)\) とすると
\(\quad \quad \triangle OAB = \frac{1}{2}|x_1y_2 – x_2y_1| \)② \(\triangle ABC\) について、\(A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3)\) とすると
\(\quad \quad \begin{align}\triangle OAB
&= \frac{1}{2}|(x_2-x_1)(y_3-y_1) – (x_3-x_1)(y_2-y_1)| \\
&= \frac{1}{2}|x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1) +x_3(y_1-y_2)|
\end{align}\)
例題1
\( A(1,2), B(3,4),C(0,6) \) を頂点とする三角形の面積を求めよ。
解答).
\(\quad \begin{align}\triangle ABC
&= \frac{1}{2}|(3-1)(6-2)-(0-1)(4-2)| \\
&= \frac{1}{2}|8+2| \\
&= 5
\end{align}\)
