三角形の定理や性質
1.三平方の定理（ピタゴラスの定理）
三平方の定理
別名：ピタゴラスの定理
三角形において、成り立つ公式です。
\(\angle C = 90^{\circ} \Longleftrightarrow a^2+b^2 = c^2\)
角と辺の関係
\(\triangle ABCで \angle A , \angle B , \angle C の対辺の長さを,それぞれa,b,c\)とするとき、次の事が成り立つ。
\(\angle C \lt 90^{\circ} \to a^2+b^2 \lt c^2\) \(\angle C = 90^{\circ} \to a^2+b^2 = c^2\) \(\angle C \gt 90^{\circ} \to a^2+b^2 \gt c^2\)
2.三角形の中線と垂線
中線定理（パップスの定理）
\(\triangle ABC のBCの中点をMとすれば\)
\(AB^2 + AC^2 = 2(AM^2+BM^2)\)
垂線の性質
\(AH \perp BC , BCの中点をM\)とすれば
\(AB^2-AC^2 = BH^2-CH^2 = 2BC \cdot MH\)
3.内分点と外分点
内分点
・線分AB上にある点。
・線分AB上を\(m:n\)に内分する点Pは、\(AP:BP=m:n\)の関係性にある。
外分点
・線分AB上にない直線AB上の点。
・線分ABを\(m:n\)に外分する点Pは、\(AP:BP=m:n\)の関係性にある。
三角形の角の2等分線と比例
三角形の内角、外角の二等分線での内分点、外分点の関係性
\(\triangle ABCで\angle A\)およびその外角の二等分線が直線AB上に交わる点をM、Nとすると
\(AB:AC = BM:MC=BN:NC\)となり、逆も成り立つ。
また上の式が成り立つとき、
\(M、NはBC\)を調和に分けるといい、
\(B、M、C、N\)を調和点列という。
4.三角形と直線
メネラウスの定理
\(\triangle ABCを1つの直線で切り、\)
\(辺BC、CA、ABまたはその延長との交点をD、E、Fとすれば\)
\(\large{\frac{BD}{DC}\cdot \frac{CE}{EA} \cdot \frac{AF}{FB}=1}\)
逆も成り立つ。
※覚え方
三角形を作るように、点を辿っていけば分かりやすい。
\(\large{\frac{BD}{DC}\cdot \frac{CE}{EA} \cdot \frac{AF}{FB}=1}\)について
\(B \to D \to C \to E \to A \to F \to B \)例題
下記の図で\(AM:MB=2:1、\quad AN:NC=3:2、BNとCNとの交点をPとする。\)
\(BP:PN\)を求めよ。
解答).\(\triangle ABN に注目して、直線MPN\)で切ると、メネラウスの定理より
\(\begin{align} \frac{BP}{PN}\cdot\frac{NC}{CA}\cdot\frac{AM}{MB} &= 1 \\
\frac{BP}{PN}\cdot\frac{2}{5}\cdot\frac{2}{1} &= 1 \\
\frac{BP}{PN} &= \frac{5}{4}
\end{align}
\)
よって
\(BP:PN=5:4\)
チェバの定理
\(\triangle ABC の平面上に1点Oをとり、\)
\(AO、BO、COと大変またはその延長との交点をD、E、F\)とすれば
\(\large{\frac{BD}{DC}\cdot \frac{CE}{EA} \cdot \frac{AF}{FB}=1}\)となる。逆も成り立つ。
例題
下記の図で\(AM:MB=2:1、\quad AN:NC=3:2、BNとCNとの交点をPとし、直線APと線分BCとの交点をQとする。\)
\(BQ:QC\)を求めよ。
解答).\(\triangle ABC に対して、チェバの定理より
[latex]\begin{align}\frac{BQ}{QC}\cdot\frac{CN}{NA}\cdot\frac{AM}{MB} &= 1 \\
\frac{BQ}{QC}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{1} &= 1 \\
\frac{BQ}{QC} &= \frac{3}{4}
\end{align}\)
よって
\(BQ:QC=3:4\)