高次方程式

1.高次方程式

高次方程式の解法

① 因数定理などを利用して因数分解する。

\(\quad f(x) = f_1(x)\cdot f_2(x) \cdot f_3(x) \quad \)と因数分解出来るとき

\(\quad f(X) =0 \Longleftrightarrow \begin{cases} f_1(x) = 0 \quad または \\ f_2(x) = 0 \quad または \\ f_3(x) = 0\end{cases}\)

② 実数係数のn次方程式が虚数解\(a+bi\)を持てば、必ず\(a-bi\)(共役複素数)を持つことを利用する。

2.高次不等式

高次不等式の解法

\(f(x) \gt 0 \quad or \quad f(x) \lt 0 \quad\)の形に整理し、

\(f(x)\)を因数分解して解を求める。(表やグラフを用いる。)

高次不等式の解

例).3次不等式の場合

\((\alpha,\beta,\gammaを\alpha \lt \beta \lt \gammaの実数とする。)\)

① \((x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)\gt 0\)の解は

\(\quad \alpha \lt x \lt \beta,\quad \gamma \lt x\)

② \((x-\alpha)^2(x-\beta) \lt 0 \)の解は

\(\quad x \lt \beta \quad (x \neq \alpha) \)
例題1 (3次不等式)

\(x^3-3x^2-6x+8 \gt 0 \quad \)を解け

解答).

\(\begin{align} f(x) &= x^3-3x^2-6x+8 \\ &= (x+2)(x-1)(x-4) \end{align}\)

 

\(x\)   -2   1   4  
\(x+2\) 0 + + + + +
\(x-1\) 0 + + +
\(x-4\) 0 +
\(f(x)\) 0 + 0 0 +

ゆえに

\(\quad -2 \lt x \lt 1,\quad 4 \lt 4\)

 

例題2 (4次不等式)

\(2x^4-9x^3+4x^2+21x-18 \lt 0 \quad \)を解け

解答).

\(f(x)=2x^4-9x^3+4x^2+21x-18\)とおくと、\(f(1)=0\)

である事から

\(\begin{align} f(x) &= 2x^4-9x^3+4x^2+21x-18 \\ &= (x-1)(2x^3-7x^2-3x+18) \\ &= (2x+3)(x-1)(x-2)(x-3) \end{align}\)

 

\(x\)   \(-\frac{3}{2}\)   1   2   3  
\(2x+3\) 0 + + + + + + +
\(x-1\) 0 + + + + +
\(x-2\) 0 + + +
\(x-3\) 0 +
\(f(x)
\)
+ 0 0 + 0 0 +

ゆえに

\(-\frac{3}{2} \lt x \lt 1 , \quad 2 \lt x \lt 3\)

 

3.2項方程式

2項方程式

\(x^n = a^n\)を二項方程式という。

必ず\(x=a\)を解としてもつので、因数分解すると

\(
(x-a)(x^{n-1}+ax^{n-2}+a^2x^{n-3}+\cdots + a^{n-2}x + a^{n-1})=0
\)

となり、nが偶数のときはさらに、\(x=-a\)も解となる。

1の立方根

\(x^3 = 1\)の3つの解のこと。

\(x = 1\)が解の1つなので、

\(\quad x^3-1 = (x-1)(x^2+x+1) = 0\)

\(\quad ∴ x=1,\quad \frac{-1\pm\sqrt{3}i}{2}\)

 

\(\frac{-1+\sqrt{3}i}{2},\quad \frac{-1-\sqrt{3}i}{2}\quad \)を1の虚数立方根といい

一方を\(\omegaとすれば、他方は\omega^2\)となる。

\(\omega^2\)について

① \(\omega = \frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\)とすると、

\(\quad \omega^2 = \frac{-2-2\sqrt{3}i}{4} = \frac{-1-\sqrt{3}i}{2}\)

② \(\omega = \frac{-1-\sqrt{3}i}{2}\)とすると、

\(\quad \omega^2 = \frac{-2+2\sqrt{3}i}{4} = \frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\)

 

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