解と係数の関係 1

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1.解と係数の関係

2次方程式の解と係数の関係

\(ax^2+bx+c=0 \quad (a \neq 0)\)の2つの解を\(\alpha,\beta\)とすると、

\(\quad \alpha + \beta = -\frac{b}{a},\quad \alpha \beta = \frac{c}{a}\)

となる。この関係式があれば下記のような関係性も導くことが出来る。

\(\quad \begin{align} (\alpha – \beta )^2 &=(\alpha+\beta)^2-4\alpha \beta \\ &= \frac{b^2-4ac}{a^2} \\ &= \frac{D}{a^2} \end{align}\)
例題1

連立方程式 \(u+v=4,\quad u^2+v^2 = 10\quad (u \lt v)\)を解け。

解答).

解と係数の関係性を求めていく。

\(u^2+v^2 = (u+v)^2-2uv \)

より、

\(uv=3\)

となる。つまり\(u,v\)は以下の2次方程式の解となる。

\(x^2-4x+3=(x-1)(x-3)=0\)

よって

\(u=1,\quad v=3\)

 

2.応用

因数分解への応用

\(ax^2+bx+c=0\)の2つの解を\(\alpha,\beta\)とすると

① \(ax^2+bx+c=0\)

② \(ax^2+bx+c=0\) が完全平方式 \(a(x-\alpha)^2\) であるための条件は

\(\quad D=b^2-4ac\)である。

例題1

\(2x^2-5xy+ky^2+ x +11y-6\) を1次式の積に因数分解できるように\(k\)の値を定めよ。

関連 >> 文字式の表し方・n次式について

解答).

\(\begin{align} \quad & 2x^2-5xy+ky^2+ x +11y-6 \\ &= 2x^2+(-5y+1)x+(ky^2+11y-6) =0 \end{align}\)

とおくと、判別式Dは

\(\begin{align} D &= (-5y+1)^2-8(ky^2+11y-6) \\ &= (25-8k)y^2-98y+49 \end{align}\)

となる。1次式の積( \((ax+by+c)(dx+ey+f)\) )となるには、\(D\)が完全平方式となれば良いので、

判別式Dの判別式\(D_1\)が0になればよい。

\(D_1 = 49^2-49(25-8k) =0 \quad \quad ∴k=-3\)

ちなみに、1次式の積は

\((x-3y+2)(2x+y-3)\)

となる。

 

\(\alpha^n + \beta^nの値の計算\)

\( \begin{cases} a \alpha^2 +b\alpha +c =0 \\ a\beta^2 +b\beta +c =0 \end{cases} \quad \Longrightarrow \quad \begin{cases} a \alpha^{n+2} +b\alpha^{n+1} +c\alpha^n =0 \\ a\beta^{n+2} +b\beta^{n+1} +c\beta^n =0 \end{cases}\) \(\Longrightarrow a(\alpha^{n+2}+\beta^{n+2})+b(\alpha^{n+1}+\beta^{n+1})+c(\alpha^n+\beta^n)=0\)

※\(\alpha^{n}+\beta^{n},\quad \alpha^{n+1}+\beta^{n+1}が求まれば\quad \alpha^{n+2}+\beta^{n+2}\) が求まる。

例題2

\(x^2+x+2=0\)の2つの解を \(\alpha,\beta\) について、\(\alpha^5+\beta^5\) の値を求めよ。

解答).

\( (\alpha^{n+2} + \beta^{n+2}) = -(\alpha^{n+1} + \beta^{n+1}) -2(\alpha^{n} + \beta^{n}) \cdots \cdots ①\) \(\quad \alpha+\beta=-1,\quad \alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2 -2\alpha\beta = -3\)

①から

\(\quad \begin{align}\alpha^3 + \beta^3 &= -(\alpha^2 + \beta^2) -2(\alpha + \beta) \\ &= -(-3)-2(-1) \\ &= 5 \end{align}\)

同様に

\(\quad \alpha^4 + \beta^4 = 1,\quad \alpha^5 + \beta^5 = -11\)

と求まる。

 

2次方程式の解の符号

2次方程式 \(ax^2+bx+c=0\) の解を \(\alpha,\beta\) とすると

① 2解とも正 \(\begin{align} & \Longleftrightarrow D\geq,\quad \alpha+\beta \gt 0,\quad \alpha\beta\gt 0 \\ & \Longleftrightarrow D\geq,\quad ab \lt 0,\quad ac\gt 0\end{align}\)

② 2解とも負 \(\begin{align} & \Longleftrightarrow D\geq,\quad \alpha+\beta \lt 0,\quad \alpha\beta\gt 0 \\ & \Longleftrightarrow D\geq,\quad ab \gt 0,\quad ac\gt 0\end{align}\)

③ 正の解と負の解 \(\begin{align} & \Longleftrightarrow \alpha\beta\lt 0 \\ & \Longleftrightarrow ac \lt 0 \end{align}\)

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