ε – δ 論法 (収束しない証明)

1.ε-δ論法 (収束しない証明)

つまり、

$$\lim_{x \to a} f(x) \neq b$$

を証明するには、上記の $\varepsilon – \delta$ 論法の否定なので、

となる。

つまり、

「任意の $\delta$ に対して、$| x-a | < \delta \quad and \quad |f(x)-b| \geq \varepsilon$ を満たすような、特定の $x , \varepsilon$ がある。」という事です。

なので、

「どれだけ色んな $\delta$を試しても、$| x-a | < \delta$ の範囲で議論しているにも関わらず、ある特定の大きさ $\varepsilon$ があり、収束しないという事です。」

では、具体的に問題を解いていきましょう。

$\varepsilon – \delta$ 論法で書き直すと、

$$\exists \varepsilon > 0 , \forall \delta > 0 \quad s.t. \quad \exists x \in \mathbb{R} , 0 < | x | < \delta \quad and \quad |f(x)-1| \geq \varepsilon$$

となる。これを示す。

$| x | < \delta$ より

$-\delta < x < \delta$

となります。この範囲を満たす $x$ なら良いので。

$x= -\frac{\delta}{2}$ で考える。

$$\begin{eqnarray} | f(x) -1 | &=& |-\frac{\delta}{2} -1| \\ &=& \frac{\delta}{2} + 1 \quad (∵ \delta > 0 )) \\ & \geq & \varepsilon \end{eqnarray}$$

を満たす $\varepsilon$ であれば、任意の $\delta$ で成立するので、

$x=0$ で $f(x)$ は $1$ に収束しない。

と証明できました。

では、次に $x=0$ で $f(x)$ が収束しない事を証明していきましょう。

上記の証明は収束値を $1$ と指定していましたが、今回は収束値を任意の実数 $a$とします。

そうする事で、全ての実数で収束しない事を示します。

$\varepsilon – \delta$ 論法で書き直すと、

$$\exists \varepsilon > 0 , \forall \delta > 0 \quad s.t. \quad \exists x \in \mathbb{R} ,\forall a \in \mathbb{R} ,0 < | x | < \delta \quad and \quad |f(x)-a| \geq \varepsilon$$

となる。これを示す。

$| x | < \delta$ より

$-\delta < x < \delta$

の範囲の $x$ なら何でも良い。

(1). $a \geq 0$ の時、

　$x= -\frac{\delta}{2}$

　とすると、

$$\begin{eqnarray} \quad |f(x) – a | &=& |-\frac{\varepsilon}{2} -1 -a | \\ &=& \frac{\varepsilon}{2} +1 +a \quad (\varepsilon > 0, a \geq 0 ) \\ & \geq & \varepsilon \end{eqnarray}$$

　を満たす $\varepsilon$ で良い。

(2). $a < 0$ の時、

　$x= \frac{\delta}{2}$

　とすると、

$$\begin{eqnarray} \quad |f(x) – a | &=& |\frac{\varepsilon}{2} +1 -a | \\ &=& \frac{\varepsilon}{2} +1 -a \quad (\varepsilon > 0, a < 0 ) \\ & \geq & \varepsilon \end{eqnarray}$$

　を満たす $\varepsilon$ で良い。

(1).(2)より、

　$x=0$ で $f(x)$ は収束しない。