ε – δ 論法 (収束しない証明)

1.ε-δ論法 (収束しない証明)

\( \varepsilon – \delta \) 論法の復習
\[ \lim_{x \to a} f(x) = b \]

↓ \(\varepsilon – \delta \) 論法で書き直し

\[ \forall \varepsilon > 0 , \exists \delta > 0 \quad s.t. \quad \forall x \in \mathbb{R} , | x-a | < \delta \to |f(x)-b| < \varepsilon \]

つまり、

\[ \lim_{x \to a} f(x) \neq b \]

を証明するには、上記の \( \varepsilon – \delta \) 論法の否定なので、

収束しない証明
\[ \lim_{x \to a} f(x) \neq b \]

↓ \(\varepsilon – \delta \) 論法で書き直し

\[ \exists \varepsilon > 0 , \forall \delta > 0 \quad s.t. \quad \exists x \in \mathbb{R} , | x-a | < \delta \quad and \quad |f(x)-b| \geq \varepsilon \]

となる。

つまり、

「任意の \( \delta \) に対して、\( | x-a | < \delta \quad and \quad |f(x)-b| \geq \varepsilon \) を満たすような、特定の \(x , \varepsilon \) がある。」という事です。

 

なので、

「どれだけ色んな \( \delta \)を試しても、\( | x-a | < \delta \) の範囲で議論しているにも関わらず、ある特定の大きさ \( \varepsilon \) があり、収束しないという事です。」

では、具体的に問題を解いていきましょう。

例題
\[
f(x) =
\begin{cases}
x+1 \quad (x \geq 0) \\
x-1 \quad (x < 0 ) \\ \end{cases} \]

となる関数に関して、

\[
f(x) = \lim_{x \to 0} \neq 1
\]

を \( \epsilon – \delta \) 論法で示せ。

\( \varepsilon – \delta \) 論法で書き直すと、

\[ \exists \varepsilon > 0 , \forall \delta > 0 \quad s.t. \quad \exists x \in \mathbb{R} , 0 < | x | < \delta \quad and \quad |f(x)-1| \geq \varepsilon \]

となる。これを示す。

\( | x | < \delta \) より

\( -\delta < x < \delta \)

となります。この範囲を満たす \( x \) なら良いので。

\( x= -\frac{\delta}{2} \) で考える。

\begin{eqnarray}
| f(x) -1 | &=& |-\frac{\delta}{2} -1| \\
&=& \frac{\delta}{2} + 1 \quad (∵ \delta > 0 )) \\
& \geq & \varepsilon
\end{eqnarray}

を満たす \( \varepsilon \) であれば、任意の \( \delta \) で成立するので、

\( x=0 \) で \( f(x) \) は \( 1 \) に収束しない。

 

 

と証明できました。

では、次に \( x=0 \) で \( f(x) \) が収束しない事を証明していきましょう。

上記の証明は収束値を \( 1 \) と指定していましたが、今回は収束値を任意の実数 \( a \)とします。

そうする事で、全ての実数で収束しない事を示します。

例題
\[
f(x) =
\begin{cases}
x+1 \quad (x \geq 0) \\
x-1 \quad (x < 0 ) \\ \end{cases} \]

となる関数に関して、\( x=0 \) で収束しないことを示せ。

となる事を \( \epsilon – \delta \) 論法で示せ。

\( \varepsilon – \delta \) 論法で書き直すと、

\[ \exists \varepsilon > 0 , \forall \delta > 0 \quad s.t. \quad \exists x \in \mathbb{R} ,\forall a \in \mathbb{R} ,0 < | x | < \delta \quad and \quad |f(x)-a| \geq \varepsilon \]

となる。これを示す。

\( | x | < \delta \) より

\( -\delta < x < \delta \)

の範囲の \( x \) なら何でも良い。

(1). \( a \geq 0 \) の時、

 \( x= -\frac{\delta}{2} \)

 とすると、

\begin{eqnarray}
\quad |f(x) – a | &=& |-\frac{\varepsilon}{2} -1 -a | \\
&=& \frac{\varepsilon}{2} +1 +a \quad (\varepsilon > 0, a \geq 0 ) \\
& \geq & \varepsilon
\end{eqnarray}

 を満たす \( \varepsilon \) で良い。

(2). \( a < 0 \) の時、

 \( x= \frac{\delta}{2} \)

 とすると、

\begin{eqnarray}
\quad |f(x) – a | &=& |\frac{\varepsilon}{2} +1 -a | \\
&=& \frac{\varepsilon}{2} +1 -a \quad (\varepsilon > 0, a < 0 ) \\ & \geq & \varepsilon \end{eqnarray}

 を満たす \( \varepsilon \) で良い。

(1).(2)より、

 \( x=0 \) で \( f(x) \) は収束しない。

 

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