連立方程式の解法 2

1.2元2連立2次方程式

1次と2次の連立方程式

① 1次式を\(y=ax+b \quad (x=cy+d)\) と変形して一つの式に代入し、1元2次方程式に直して解く。

② 2つの式が対称な時、\(x+y=u,\quad xy=v\) と置き、解と係数の関係から、

 \(t^2-ut+v = 0\) tについての2次方程式を解けば、2つの解となる。

例題1

\(\begin{cases}
x+y = 8 \quad \quad & \cdots ①\\
x^2 + y^2 = 34 \quad & \cdots ②
\end{cases}\)

を解け。

解答).

②を式変形して、

\((x+y)^2-2xy = 34 \quad \quad ∴ xy=15\)

よって、①、②を満たす \(x,y\) はtについての方程式

\(t^2-8t+15=(t-3)(t-5)=0\)

の解となるので、

\(
∴ \begin{cases}
x=3 \\
y=5
\end{cases}
\quad または \quad
\begin{cases}
x=5 \\
y=3
\end{cases}
\)

となる。

 

2次と2次の連立方程式

① 一方が (1次式)(1次式)=0 の形の場合、\(f(x,y),g(x,y)\) を一次式、\(h(x,y)\) を2次式とすれば

 \(
\begin{cases} f(x,y)\cdot g(x,y) = 0 \\ h(x,y) = 0 \end{cases} \\ \Longrightarrow
\begin{cases} f(x,y) = 0 \\ h(x,y) = 0 \end{cases} \quad または \quad
\begin{cases} g(x,y) = 0 \\ h(x,y) = 0 \end{cases}
\)

を解けばよい。

② 定数項などを消去して①の形にする。

③ 2つの式が対称な時、\(x+y=u,\quad xy=v\) と置き、解と係数の関係から、

 \(t^2-ut+v = 0\) tについての2次方程式を解けば、2つの解となる。

例題2

\(\begin{cases}
4x^2-11xy-3y^2 = 0 \quad \cdots ① \\
x^2-xy+y^2=7 \quad \cdots ②
\end{cases}\)

を解け。

解答).

①から

\((4x+y)(x-3y)=0\)

 ∴ \(y= -4x,\quad x=3y\)

(1).\(\ y=-4x\) の時

 ②に代入すると、

 \(21x^2 = 7\)

 ∴ \(x = \pm\frac{\sqrt{3}}{3}\)

   \(y = \mp\frac{4\sqrt{3}}{3}\)

(2).\(\ x=3y\) の時

 ②に代入すると、

 \(7y^2 = 7\)

 ∴ \(y = \pm 1\)

   \(x = \pm 3\)

(まとめ) 解は次の4つとなる。

 \((x,y) = \{ (\frac{\sqrt{3}}{3},-\frac{4\sqrt{3}}{3}),(-\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{4\sqrt{3}}{3}),(3,1),(-3,-1) \}\)

 

実数解への応用

2次方程式 \(f(x,y),g(x,y)\) が実数の時、ある方程式が

\(\quad \{ f(x,y) \}^2 + \{ g(x,y) \}^2 = 0\)

と変形できれば、

\(\quad \begin{cases}
f(x,y) = 0 \\
g(x,y) = 0
\end{cases}\)

を解けばよい。

※ 実数解と定まっているからこそ、出来るやり方です。

例題3

\(x,y\) が実数の時、次の方程式を解け。

\(\quad x^2-2xy^2+2y^4-2x+2=0 \)

解答).

\(\begin{align}
x^2-2xy^2+2y^4-2x+2 &= 0 \\
x^2-2(y^2+1)x+2y^4+2 &= 0 \\
\{ x-(y^2+1) \}^2 + 2y^4+2-(y^2+1)^2 &= 0 \\
∴ \ (x-y^2-1)^2 + (y^2-1)^2 &= 0 \\
∴ \ x-y^2-1 = 0 \quad かつ \quad y^2-1=0 \\
\end{align}\)

の時が解となるので、

\(\quad (x,y) = \{ (2,-1),(2,1) \}\)

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