連立方程式の解法 2
1.2元2連立2次方程式
① 1次式をy=ax+b \quad (x=cy+d) と変形して一つの式に代入し、1元2次方程式に直して解く。
② 2つの式が対称な時、x+y=u,\quad xy=v と置き、解と係数の関係から、
t^2-ut+v = 0 tについての2次方程式を解けば、2つの解となる。
を解け。
解答).
②を式変形して、
(x+y)^2-2xy = 34 \quad \quad ∴ xy=15よって、①、②を満たす x,y はtについての方程式
t^2-8t+15=(t-3)(t-5)=0の解となるので、
∴ \begin{cases} x=3 \\ y=5 \end{cases} \quad または \quad \begin{cases} x=5 \\ y=3 \end{cases}となる。
① 一方が (1次式)(1次式)=0 の形の場合、f(x,y),g(x,y) を一次式、h(x,y) を2次式とすれば
\begin{cases} f(x,y)\cdot g(x,y) = 0 \\ h(x,y) = 0 \end{cases} \\ \Longrightarrow \begin{cases} f(x,y) = 0 \\ h(x,y) = 0 \end{cases} \quad または \quad \begin{cases} g(x,y) = 0 \\ h(x,y) = 0 \end{cases}
を解けばよい。
② 定数項などを消去して①の形にする。
③ 2つの式が対称な時、x+y=u,\quad xy=v と置き、解と係数の関係から、
t^2-ut+v = 0 tについての2次方程式を解けば、2つの解となる。
を解け。
解答).
①から
(4x+y)(x-3y)=0∴ y= -4x,\quad x=3y
(1).\ y=-4x の時
②に代入すると、
21x^2 = 7
∴ x = \pm\frac{\sqrt{3}}{3}
y = \mp\frac{4\sqrt{3}}{3}
(2).\ x=3y の時
②に代入すると、
7y^2 = 7
∴ y = \pm 1
x = \pm 3
(まとめ) 解は次の4つとなる。
(x,y) = \{ (\frac{\sqrt{3}}{3},-\frac{4\sqrt{3}}{3}),(-\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{4\sqrt{3}}{3}),(3,1),(-3,-1) \}
2次方程式 f(x,y),g(x,y) が実数の時、ある方程式が
\quad \{ f(x,y) \}^2 + \{ g(x,y) \}^2 = 0と変形できれば、
\quad \begin{cases} f(x,y) = 0 \\ g(x,y) = 0 \end{cases}を解けばよい。
※ 実数解と定まっているからこそ、出来るやり方です。
x,y が実数の時、次の方程式を解け。
\quad x^2-2xy^2+2y^4-2x+2=0解答).
\begin{align} x^2-2xy^2+2y^4-2x+2 &= 0 \\ x^2-2(y^2+1)x+2y^4+2 &= 0 \\ \{ x-(y^2+1) \}^2 + 2y^4+2-(y^2+1)^2 &= 0 \\ ∴ \ (x-y^2-1)^2 + (y^2-1)^2 &= 0 \\ ∴ \ x-y^2-1 = 0 \quad かつ \quad y^2-1=0 \\ \end{align}の時が解となるので、
\quad (x,y) = \{ (2,-1),(2,1) \}
