和の記号と階差数列

和の記号\(\Sigma\)

数列の和 \(a_1 + a_2 + \cdots \cdots +a_n\) を \(\displaystyle \sum_{k=1}^{n} a_k\) と書く。

 

— 性質 —

(1). \(\displaystyle \sum_{k=1}^{n} (a_k + b_k) = \sum_{k=1}^{n} a_k + \sum_{k=1}^{n} b_k \)

(2). \(\displaystyle \sum_{k=1}^{n} c a_k = c \sum_{k=1}^{n} a_k \)

(3). \(\displaystyle \sum_{k=1}^{n} c = nc \)

※ \(c\) は定数。

累乗の和

(1). \(\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k = 1 + 2 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}\)

(2). \(\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k^2 = 1^2 + 2^2 + \cdots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)

(3). \(\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k^3 = 1^3 + 2^3 + \cdots + n^3 = \{ \frac{n(n+1)}{2} \}^2\)

(4). \(\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k^4 = 1^4 + 2^3 + \cdots + n^4 \)\(= \frac{1}{30}n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)\)

階差数列

\(1,2,4,7,11,16,22,\cdots \cdots \) という数列がある。

この数列の隣の差を並べると、

\(1,2,3,4,5,6,\cdots \cdots \) のように等差数列となっている。

このように差が数列になっている時、この差の数列を階差数列という。

 

数列 \(\{ a_n \} \) の階差数列を \(\{ b_n \}\) とすると

\(b_n = a_{n+1} -a_n\)

これより、数列 \(\{ a_n \}\) は

\(\displaystyle a_n = \sum_{k=1}^{n-1} b_k \quad (n \ge 2)\)

\(\sum_{k=1}^{n}(c_{k+1}-c_k)の計算\)
\begin{eqnarray}
\sum_{k=1}^{n}(c_{k+1}-c_k) &=& (c_2 -c_1) +(c_3 -c_2) +(c_4 – c_3) + \cdots \cdots + (c_{n+1} -c_n) \\
&=& c_{n+1} -c_1 \\
\end{eqnarray}

この形になる数列の和の問題が多い。

\(\sum_{k=1}^{n} kx^{k-1}の計算\)
\begin{eqnarray}
S_n &=& 1+2x +3x^2 + \cdots + nx^{n-1} \\
x S_n &=& \quad \quad x+2x^2+\cdots + (n-1)x^{n-1} + nx^n \\
\end{eqnarray}

二つの式の差をとって

\begin{eqnarray}
(1-x)S_n &=& 1+x+x^2+ \cdots + x^{n-1} -nx^n \\
&=& \frac{1-x^n}{1-x} – nx^n \quad (x \neq 0)\\
S_n &=& \frac{1-(n+1)x^n+nx^{n+1}}{(1-x)^2} \quad (x \neq 1) \\
\end{eqnarray}

となる。\(x=1\) の時

\begin{eqnarray}
S_n = \frac{n(n+1)}{2} \\
\end{eqnarray}

まとめると、

\begin{eqnarray}
x \neq 1 の時、 \quad S_n = \frac{1-(n+1)x^n+nx^{n+1}}{(1-x)^2} \\
x =1 の時、\quad S_n = \frac{n(n+1)}{2} \\
\end{eqnarray}