指数関数
1.累乗根
n 乗して実数 a になる数を
a の n 乗根といい、次のように表す。
\sqrt[n]{a}
2乗根や3乗根、4乗根等をまとめて、累乗根と言う。
特別な言い方として、2乗根を平方根、3乗根を立方根と言う。
1. n が偶数の時
1.1. a>0 ならば、 aのn乗根 は正負の両方存在する。
正： \sqrt[n]{a} 、 負： -\sqrt[n]{a}
1.2. a < 0 ならば、 aのn乗根 は存在しない。
2. n が奇数の時
2.1. a の実数の n 乗根は1つであり、 a と同符号
\sqrt[n]{a}
次の累乗根を実数の範囲で求めよ。
① 81の4乗根
② -3の3乗根
③ -6の6乗根
例題①).
x^4 = 81 から 3、-3
例題②).
-\sqrt[3]{3}
例題③).
ない
m,n は正の整数。 a > 0, b> 0 とする。
(1). (\sqrt[n]{a})^n = \sqrt[n]{a^n} = a
(2). \sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}
(3). \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}
(4). (\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m}
(5). \sqrt[n]{a^m} = \sqrt[np]{a^{mp}}
(6). \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[mn]{a}
(7). nが奇数の時、\quad \sqrt[n]{-a} = -\sqrt[n]{a}
次の累乗根を簡単な式で表せ。
(1). \sqrt{81}
(2). \sqrt[3]{81}
(3). \sqrt[3]{12} \sqrt[3]{9}
(4). \sqrt{2} \sqrt[4]{4}
(5). \frac{\sqrt[4]{6}}{\sqrt[4]{32}}
例題(1)).
\sqrt{81} = \sqrt{3^4} = 9
例題(2)).
\sqrt[3]{81} = \sqrt[3]{3^3\cdot 3} = 3\sqrt[3]{3}
例題(3)).
\sqrt[3]{12} \sqrt[3]{9} = \sqrt[3]{12\times 9}
= \sqrt[3]{2^2 \cdot 3^3} = 3 \sqrt[3]{4}
例題(4)).
\sqrt{2} \sqrt[4]{4} = \sqrt[4]{2^2} \sqrt[4]{4}
= \sqrt[4]{2^4} = 2
例題(5).
\frac{\sqrt[4]{6}}{\sqrt[4]{32}} = \sqrt[4]{\frac{6}{32}}
= \sqrt[4]{\frac{3}{2^4}} = \frac{\sqrt[4]{3}}{2}
2.指数の拡張
(1). a^0 = 1
(2). a^{-n} = \frac{1}{a^n}
(3). a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}
(4). a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}
(5). a^{- \frac{m}{n}} = \frac{1}{\sqrt[n]{a^m}}
(1). a^m \times a^n = a^{m+n}
(2). a^m \div a^n = a^{m-n}
(3). (a^m)^n = a^{mn}
(4). (ab)^{n} = a^n b^n
次の数を、累乗根の記号を使って示せ。
(1). 10^{\frac{1}{2}}
(2). 10^{-\frac{1}{3}}
(3). 3^{0.2}
例題(1).
10^{\frac{1}{2}} = \sqrt{10}
例題(2).
10^{-\frac{1}{3}}= \frac{1}{\sqrt[3]{10}}
例題(3).
3^{0.2} = 3^{\frac{1}{5} = \sqrt[5]{3} }
次の数を簡単な数字に直せ。
(1). 125^{\frac{2}{3}}
(2). (8^{\frac{3}{2}})^{-\frac{4}{3}}
例題(1).
125^{\frac{2}{3}} = (5^3)^{\frac{2}{3}} = 5^2 = 25
例題(2).
(8^{\frac{3}{2}})^{-\frac{4}{3}} = 8^{-2} = \frac{1}{64}
a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}} = 3 の時、次式の値を求めよ。
(1). a+a^{-1}
(2). a^{\frac{3}{2}} +a^{-\frac{3}{2}}
例題(1).
a+a^{-1} = (a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}})^2 -2a^{\frac{1}{2}}\cdot a^{-\frac{1}{2}} = 3^2-2=7
例題(2).
a^{\frac{3}{2}} +a^{-\frac{3}{2}} = (a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}})^3 -3\cdot a^{\frac{1}{2}}\cdot a^{-\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}}) = 3^3-3\times 3 = 18
3.指数関数のグラフ
① 指数関数
a>0,\quad a\neq 1 の時 ,y=a^x \quad をaを底とする指数関数と言う。
② 指数関数のグラフ
y=a^x のグラフについて
(\alpha).\quad a>1 の時、増加関数。
\quad \quad \quad 0 < a < 1 の時、減少関数。
(\beta).\quad y 軸と (0,1)で交わる。
(\gamma).\quad x軸が漸近線になる。
