指数関数・対数関数の利用
1.指数方程式
① 指数方程式とは
指数に x 等を含む方程式の事。
② 指数方程式の解法
(1). a^{f(x)} = a^{g(x)} の形に整理して、両辺の対数をとる。
(2). a^{f(x)} = b^{g(x)} の形に整理して、両辺の対数を取り、
f(x) \log a = g(x) \log b を解く。
(3). a^x = X と置き、 X > 0 に注意して、 X についての方程式を解く。
次の式を x について解け。
(1). 5^{x} = (\frac{1}{5})^{3x-2}
(2). 3^x = 5^{2x-3}
(3). 3^{2x} -27 = 6\cdot 3^x
例題(1).
5^{x} = 5^{-(3x-2)} となるので、
x= -(3x-2) \quad \Longleftrightarrow \quad ∴ x=\frac{1}{2}
例題(2).
両辺の対数(底は10)を取ると、
x \log 3 = (2x-3) \log 5
(\log 3 -2 \log 5)x = -3 \log 5
∴ x= \large{\frac{3 \log 5}{2 \log 5 -\log 3} }
例題(3).
3^x = t と置くと
t^2 -6t -27 = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad (t+3)(t-9)=0
t > 0 なので、 t=9
よって、x=2
2.指数不等式
① 指数不等式とは
指数に x 等を含む不等式を指数不等式という。
② 指数不等式の解法
a^{f(x)} > a^{g(x)} の形に整理して
(1). a>1 の時、 f(x) > g(x)
(2). 0< a < 1 の時、 f(x) < g(x)
次の指数不等式を解け。
(1). 2^{2x} -8 > 2^{x+1}
(2). a^x > a^{4-x} \quad \quad (a > 0,\quad a\neq 0)
(3). (\frac{1}{16})^{x-1} > 2^{3x^2}
解答(1).
2^x = t \quad ( > 0 ) と置くと、
t^2 -2t -8 > 0 \quad \Longleftrightarrow \quad (t-4)(t+2) > 0
よって、
t > 4 \quad \Longleftrightarrow \quad x > 2
解答(2).
a>1 の時、 x > 4-x \quad ∴ x > 2
0 < a < 1 の時、 x < 4-x \quad ∴ x < 2
3.対数方程式
① 対数方程式とは
対数の真数または底に x などを含む方程式を対数方程式という。
② 対数方程式の解法
(1). \log_a f(x) = \log_a g(x) の形に整理して、 f(x) = g(x) を解く。
(ただし、a>0),\quad a\neq 1,\quad 真数>0
(2). \log_a x = X と置き、 X についての方程式を解く。
(1). \log_{10} (x+5) + \log_10 (x-5) = 2
(2). \log_x 4 -\log_2 x = 1
例題(1).
\log_{10} (x+5) + \log_{10} (x-5) = 2
log_{10} (x+5)(x-5) = log_{10} 10^2
真数条件より、 x-5 > 0 \quad \Longleftrightarrow \quad x>5 を注意して、
x^2 -25 = 100 \quad \Longleftrightarrow \quad ∴ x = 5\sqrt{5}
解答(2).
\log_x 4 -\log_2 x = 1
\frac{2}{\log_2 x} – \log_2 x = 1
\log_2 x = t と置くと、
\frac{2}{t} – t = 1
式変形して、
t^2+t-2 = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad (t+2)(t-1) = 0
∴ \log_2 x = -2,1
∴ x = \frac{1}{4},2
4.対数不等式
① 対数不等式とは
対数の真数または底に x などを含む不等式を対数不等式という。
② 対数不等式の解法
\log_a f(x) > \log_a g(x) の形に整理して
(1). a>1 の時、 f(x) > g(x)
(2). 0 , a < 1 の時、 f(x) < g(x) \quad (ただし、真数 > 0 )
③ 対数関数の最大・最小
(1).真数の最大、最小を考え、底と1との大小に注意して求める。
(2). \log_a x = X と置き、 X の関数として最大、最小を考える。
(1). 2\log_{0.1} (x-1) > \log_{0.1} (7-x)
(2). 2(\log_{10} x)^2 -5 \log_{10} x +2 \le 0
例題(1).
真数条件から
x-1 > 0 , \quad 7-x > 0 \Longleftrightarrow 1 < x < 7
それと底が 0 < 0.1(底) < 1 という事を注意して
(x-1)^2 < 7-x
整理して、
x^2-x-6 < 0 \quad \Longleftrightarrow \quad (x+2)(x-3) < 0
よって、真数条件に注意すると
1 < x < 3
例題(2).
真数条件から x > 0
\log_{10} x = t と置くと、
2t^2 -5t+2 \le 0 \quad \Longleftrightarrow \quad (2t-1)(t-2) \le 0
となるので
\frac{1}{2} \le t \le 2 \quad \Longleftrightarrow \quad \frac{1}{2} \le \log_{10} x \le 2
\log_{10} \sqrt{10} \le \log_{10} x \le log_{10} 100
底 > 1 なので、
\sqrt{10} \le x \le 100
