導関数
1.導関数
関数 y=f(x) の x=a における微分係数 f'(a) である。
この a を変数とみれば、1つの関数となる。
この関数を導関数 f'(x) と言い、次の形で示す。
f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) – f(x)}{h}
次の関数の導関数を求めよ。
(1). f(x) = 3x+2
(2). f(x) = x
(3). f(x) = 5x^2
(4). f(x) = x^2
(5). f(x) = x^3
例題(1).
\displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{ (3(x+h)+2)-(3x+2) }{ h }
\displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{3h}{h} = 3
例題(2).
\displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)-(x)}{h}
\displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{h}{h} = 1
例題(3).
\displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{5(x+h)^2-(5x^2)}{h}
\displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{10xh + h^2}{h}
\displaystyle = \lim_{h \to 0} 10x + h = 10x
例題(4).
\displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)-2 – (x^2)}{h}
\displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{2xh + h^2}{h}
\displaystyle = \lim_{h \to 0} 2x +h = 2x
例題(5).
\displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^3 – x^3}{h}
\displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{3x^2 h +3xh^2 + h^3}{h}
\displaystyle = \lim_{h \to 0} 3x^2 + 3xh + h^3 = 3x^2
(1). y = x^n \quad \Longrightarrow \quad y’ = n x^{n-1}
例). (x)’=1 , \quad , (x^2)’ = 2x,\quad (x^3)’=3x^2
(2). y = c \quad (cは定数) \quad \Longrightarrow \quad y’ = 0
(3). y=kf(x) \quad (k は定数) \quad \Longrightarrow \quad y’ = k f'(x)
(4). y = f(x) \pm g(x) \quad \Longrightarrow \quad y’ = f'(x) \pm g'(x)
(5). y = f(x)g(x) \quad \Longrightarrow \quad y’ = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)
次の関数を[]内に示した変数で微分せよ。
(1). y = 3x^3 +2x^2 +x + 1 \quad [x]
(2). y = x^2(2x+1) \quad [x]
(3). S = \pi r^2 \quad [r]
(4). V = \frac{4}{3}\pi r^3 \quad [r]
例題(1).
y’ = 3(x^3)’ + 2(x^2)’ + (x)’ +1 = 9x^2 + 4x + 1
例題(2).
y’ = (x^2)'(2x+1) + x^2′(2x+1)’ = 6x^2 +2x
例題(3).
S’ = \pi (r^2)’ = 2 \pi r
例題(4).
V’ = \frac{4}{3} \pi (r^3)’ = 4 \pi r^2
2.曲線の接線
曲線 y = f(x) 上の点 a, f(a) における接線の方程式は
y – f(a) = f'(a)(x-a)
となる。
— 曲線の法線 —
法線とは、ある直線と垂直に交わる直線の事である。
上で求めた接線に対して、同点 (a,f(a)) における法線は
y – f(a) = -\frac{1}{f'(a)}(x-a)
となる。ある直線とそれに対する法線の傾きの積は、-1となる。
次の曲線上の与えられた点における接線と法線の方程式を求めよ。
(1). y = f(x) = (x+2)^2 \quad (-3 ,1)
(2). y= f(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 4 \quad (a,-\frac{1}{2}a^2+4)
例題(1).
f'(x) = 2(x+2) \quad \Longrightarrow f'(-3) = -2
となるので、接線と法線の方程式は
接線： y -1 = -2(x+3) \quad \Longleftrightarrow \quad y = -2x-5
法線： y -1 = \frac{1}{2}(x+3) \quad \Longleftrightarrow \quad y = \frac{1}{2}x + \frac{5}{2}
例題(2).
f'(x) = -x \quad \Longleftrightarrow \quad f'(a) = -a
となるので、接線と法線の方程式は
接線： y – (-\frac{1}{2}a^2+4) = -a(x-a) \quad \Longleftrightarrow \quad y = -ax + \frac{1}{2}a^2 + 4
法線： y – (-\frac{1}{2}a^2+4) = \frac{1}{a}(x-a) \quad \Longleftrightarrow \quad y = \frac{1}{a}x -\frac{1}{2}a^2 +3
3.関数の増減
ある区間内の任意の x_1,x_2 に対して、
x_1 < x_2 \Longrightarrow f(x_1) < f(x_2) の時、
f(x) はその区間で増加する。また増加関数であるともいう。
x_1 < x_2 \Longrightarrow f(x_1) > f(x_2) の時、
f(x) はその区間で減少する。また増加関数であるともいう。
また関数 f(x) がある区間 a < x < b において、
その区間内の全ての x に対して、
f'(x) > 0 \Longrightarrow f(x) は a < x < b で増加する。
f'(x) < 0 \Longrightarrow f(x) は a < x < b で減少する。
次の関数の増減を調べよ。
f(x) = x^3-3x^2-24x -4
例).
まず微分をして、符号を調べます。
f'(x) = 3x^2 -6x -24
そして、次の表（ 増減表 ）にまとめることで分かりやすくします。
| x | \cdots | -2 | \cdots | 4 | \cdots |
| f'(x) | + | 0 | – | 0 | + |
| f(x) | \nearrow | -24 | \searrow | -84 | \nearrow |
① 一行目は x に範囲を表し、 f'(x)=0 となる値で分ける。
② 二行目は f'(x) の符号を表す。
③ 三行目は f(x) の増減を表す。増加は \nearrow 、減少は \searrow で表す。
4.極大・極小
・関数 f(x) の値が、 x=a を境目として”増加から減少”に変わる時、
f(x) は x=a で極大になるといい、その時の値 f(a) を”極大値”という。
・関数 f(x) の値が、 x=a を境目として”減少から増加”に変わる時、
f(x) は x=a で極小になるといい、その時の値 f(a) を”極小値”という。
f'(a) かつ x=a の前後での f'(a) の
符号の変化で判定することが出来る。
| f'(a) | 正 \quad \to 負 | 負 \quad \to 正 |
| f(a) | 極大値 | 極小値 |
※ f'(a)=0 であっても、 x=a の前後で f'(a) の符号が変わらなければ、、極値でない。
f(x) = x^3-6x^2+9x-1 のグラフをかけ。
例題).
f'(x) = 3x^2 -12x^2 +9 = 3(x-3)(x-1)
となるので、増減表を書くと
| x | \cdots | 1 | \cdots | 3 | \cdots |
| f'(x) | + | 0 | – | 0 | + |
| f(x) | \nearrow | 極大値(3) | \searrow | 極小値(-1) | \nearrow |
となるので、グラフを描くと下記のようになります。
