二項定理
1.二項定理
二項定理
2項定理とは、n乗の式を展開した時の以下の式の事
\(\begin{align} (a+b)^n &= \sum_{r=0}^{n} {}_n C_r a^{n-r} b^r \\ &= {}_n C_0 a^n + {}_n C_1 a^{n-1} b + \dots + {}_n C_{n-1}ab^{n-1} + {}_n C_n b^n \end{align}\)例).\((3x-2y)^4\)を展開せよ。
\(\begin{align} (3x-2y)^4 &= \sum_{r=0}^{4} {}_n C_r (3x)^{n-r} (-2y)^r \\ &= (3x)^4 + 4(3x)^3(-2y) + 6(3x)^2(-2y)^2 + 4(3x)(-2y)^3 + (-2y)^4 \\ &= 81x^4 – 216x^3y + 208x^2y^2 – 96xy^3 + 16y^4 \end{align}\)
2項係数
① 二項定理の右辺の係数、\({}_n C_0,\quad {}_n C_1,\quad {}_n C_2,\dots,\quad {}_n C_n \)を二項係数と言う。
② パスカルの三角形の\(n\)段目は、\({}_n C_0,\quad {}_n C_1,\quad {}_n C_2,\dots,\quad {}_n C_n \)となる。
二項係数の関係式
① \({}_n C_0 + {}_n C_1 + {}_n C_2 + \dots + {}_n C_n = 2^n\)
② \({}_n C_1 + {}_n C_3 + {}_n C_5 + \dots = {}_n C_0 + {}_n C_2 + {}_n C_4 + \dots = 2^{n-1}\)
