円と円
1.2つの円
2円 \((x-a_1)^2 +(y-b_1)^2 = r_1^2, \quad (x-a_2)^2 +(y-b_2)^2 = r_2^2\)
の中心間の距離を \(d=\sqrt{(a_2-a_1)^2+(b_2-b_1)^2}\)とすると、
① \(d \gt r_1+r_2 \quad \Longleftrightarrow \quad 互いに外部にある\)
② \(d = r_1+r_2 \quad \Longleftrightarrow \quad 外接する\)
③ \(|r_1-r_2| \lt d \lt r_1+r_2 \quad \Longleftrightarrow \quad 2点で交わる\)
④ \(d=|r_1-r_2| \quad \Longleftrightarrow \quad 内接する\)
⑤ \(d \lt |r_1-r_2| \quad \Longleftrightarrow \quad 一方が他方の内部にある\)
次の2円の位置関係を述べよ。
\(\quad (x-1)^2+y^2=2^2 \quad \cdots ① \\ \quad (x-2)^2+(y+1)^2=2 \quad \cdots ②\)解答).
2円の中心間の距離dは
\(\quad d= \sqrt{(2-1)^2+(-1)^2}=\sqrt{2}\)よって、\(r_1 =2,\quad r_2=\sqrt{2}\) とすれば、
\(\quad r_1-r_2 \lt d \lt r_1+r_2\)が成り立つので、2円は2点で交わる。
2.2円と他の図形
2円
\(\quad \begin{align} f(x,y) = x^2+y^2 +a_1x+b_1y+c_1 = 0 \\ f(x,y) = x^2+y^2 +a_2x+b_2y+c_2 = 0 \end{align}\)が交わる時、交点を通る円は
\(\quad f(x,y) + kg(x,y) = 0 \quad (k \neq -1)\)
2円の交点を通る直線（共通弦）は
\(\quad f(x,y) – g(x,y) = 0\)2円
\( \quad x^2+y^2-2x-3 = 0 \quad \cdots ① \\ \quad x^2+y^2-4x+2y+3 = 0 \quad \cdots ② \)と 原点 (0,0) の3点を通る円の方程式を求めよ。
解答).
2円の交点を通る円の方程式は、
\(\quad (x^2+y^2-2x-3)+k(x^2+y^2-4x+2y+3) = 0\)この円が 原点 (0,0) を通るので x=0, y=0 を代入して k を求める。
\( \quad (-3)+k(3)=0 \\ \quad ∴ k=1 \)よって
\( \quad (x^2+y^2-2x-3)+(x^2+y^2-4x+2y+3) \\ \quad = 2x^2+2y^2-6x+2y=0 \\ \quad \to x^2+y^2-3x+y =0 \\ \quad (x-\frac{3}{2})^2+(y+\frac{1}{2})^2=\frac{5}{2} \)
円 \(x^2+y^2 = r^2\) と
外の点 \(P(x_1,y_1)\) から引いた
2つの接線の接点をQ,Rとすると
Q,Rを通る直線の式は
\(x_1 x + y_1 y = r^2\)この直線を点Pの極線と言う。
円 \((x-a)+(y-b)^2 = r^2\) と
外の点 \(P(x_1,y_1)\) を極とする極線は
\((x_1-a)(x-a)+(y_1-b)(y-b) = r^2\)となる。
