指数関数
1.累乗根
\( n \) 乗して実数 \( a \) になる数を
\( a \) の \( n \) 乗根といい、次のように表す。
\[ \sqrt[n]{a} \]
2乗根や3乗根、4乗根等をまとめて、累乗根と言う。
特別な言い方として、2乗根を平方根、3乗根を立方根と言う。
1. \( n \) が偶数の時
1.1. \( a>0 \) ならば、\( aのn乗根 \)は正負の両方存在する。
正：\( \sqrt[n]{a} \) 、 負：\( -\sqrt[n]{a} \)
1.2. \( a < 0 \) ならば、\( aのn乗根 \)は存在しない。
2. \( n \) が奇数の時
2.1. \( a \) の実数の \( n \) 乗根は1つであり、\( a \) と同符号
\( \sqrt[n]{a} \)
次の累乗根を実数の範囲で求めよ。
① 81の4乗根
② -3の3乗根
③ -6の6乗根
例題①).
\( x^4 = 81 \) から 3、-3
例題②).
\( -\sqrt[3]{3} \)
例題③).
ない
\( m,n \) は正の整数。 \( a > 0, b> 0 \) とする。
(1). \( (\sqrt[n]{a})^n = \sqrt[n]{a^n} = a \)
(2). \( \sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab} \)
(3). \( \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}} \)
(4). \( (\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m} \)
(5). \( \sqrt[n]{a^m} = \sqrt[np]{a^{mp}} \)
(6). \( \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[mn]{a} \)
(7). \( nが奇数の時、\quad \sqrt[n]{-a} = -\sqrt[n]{a} \)
次の累乗根を簡単な式で表せ。
(1). \( \sqrt{81} \)
(2). \( \sqrt[3]{81} \)
(3). \( \sqrt[3]{12} \sqrt[3]{9} \)
(4). \( \sqrt{2} \sqrt[4]{4} \)
(5). \( \frac{\sqrt[4]{6}}{\sqrt[4]{32}} \)
例題(1)).
\( \sqrt{81} = \sqrt{3^4} = 9 \)
例題(2)).
\( \sqrt[3]{81} = \sqrt[3]{3^3\cdot 3} = 3\sqrt[3]{3} \)
例題(3)).
\( \sqrt[3]{12} \sqrt[3]{9} = \sqrt[3]{12\times 9} \)
\( = \sqrt[3]{2^2 \cdot 3^3} = 3 \sqrt[3]{4} \)
例題(4)).
\( \sqrt{2} \sqrt[4]{4} = \sqrt[4]{2^2} \sqrt[4]{4} \)
\( = \sqrt[4]{2^4} = 2 \)
例題(5).
\( \frac{\sqrt[4]{6}}{\sqrt[4]{32}} = \sqrt[4]{\frac{6}{32}} \)
\( = \sqrt[4]{\frac{3}{2^4}} = \frac{\sqrt[4]{3}}{2} \)
2.指数の拡張
(1). \( a^0 = 1 \)
(2). \( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \)
(3). \( a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a} \)
(4). \( a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} \)
(5). \( a^{- \frac{m}{n}} = \frac{1}{\sqrt[n]{a^m}} \)
(1). \( a^m \times a^n = a^{m+n} \)
(2). \( a^m \div a^n = a^{m-n} \)
(3). \( (a^m)^n = a^{mn} \)
(4). \( (ab)^{n} = a^n b^n \)
次の数を、累乗根の記号を使って示せ。
(1). \( 10^{\frac{1}{2}} \)
(2). \( 10^{-\frac{1}{3}} \)
(3). \( 3^{0.2} \)
例題(1).
\( 10^{\frac{1}{2}} = \sqrt{10} \)
例題(2).
\( 10^{-\frac{1}{3}}= \frac{1}{\sqrt[3]{10}} \)
例題(3).
\( 3^{0.2} = 3^{\frac{1}{5} = \sqrt[5]{3} } \)
次の数を簡単な数字に直せ。
(1). \( 125^{\frac{2}{3}} \)
(2). \( (8^{\frac{3}{2}})^{-\frac{4}{3}} \)
例題(1).
\( 125^{\frac{2}{3}} = (5^3)^{\frac{2}{3}} = 5^2 = 25 \)
例題(2).
\( (8^{\frac{3}{2}})^{-\frac{4}{3}} = 8^{-2} = \frac{1}{64} \)
\( a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}} = 3 \) の時、次式の値を求めよ。
(1). \( a+a^{-1} \)
(2). \( a^{\frac{3}{2}} +a^{-\frac{3}{2}} \)
例題(1).
\( a+a^{-1} = (a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}})^2 -2a^{\frac{1}{2}}\cdot a^{-\frac{1}{2}} = 3^2-2=7 \)
例題(2).
\( a^{\frac{3}{2}} +a^{-\frac{3}{2}} = (a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}})^3 -3\cdot a^{\frac{1}{2}}\cdot a^{-\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}}) = 3^3-3\times 3 = 18 \)
3.指数関数のグラフ
① 指数関数
\( a>0,\quad a\neq 1 の時 ,y=a^x \quad をaを底とする指数関数と言う。\)
② 指数関数のグラフ
\( y=a^x \) のグラフについて
\( (\alpha).\quad a>1 \) の時、増加関数。
\( \quad \quad \quad 0 < a < 1 \) の時、減少関数。
\( (\beta).\quad y \) 軸と (0,1)で交わる。
\( (\gamma).\quad x軸が漸近線になる。 \)
