平方根と立方根
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1.平方根・立方根
平方根とは
① 2乗(平方)すると正の数\(aになる数をa\)の平方根という。
② 正の数\(a\)の平方根は2つ有る。正の方を\(\sqrt{a},負の方を-\sqrt{a}\)で表す。
立方根とは
① 3乗(立方)して\(aになる数をa\)の立方根(3乗根)という。
② \(a (\neq 0)\)の立方根は3つ有り、そのうち実数のものはただ1つである。それを\(\sqrt[3]{a}\)で表す。
③ \(a \gt 0 のとき、\sqrt[3]{a} \gt 0 \quad , \quad a\lt 0 のとき \sqrt[3]{a} \lt 0\)
2.平方根・立方根の計算規則
平方根・立方根の計算
① \(a \gt 0\)のとき
\(\quad \quad (\pm \sqrt{a})^2 = a\)② \(\sqrt{a^2} = |a| = \begin{cases} & a \quad (a\geq 0 のとき) \\ – & a \quad (a\lt 0 のとき) \end{cases}\)
③ \(a \gt 0, \quad b \gt 0 \)のとき
\(\quad \quad \sqrt{a} \sqrt{b} = \sqrt{ab}, \quad \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}\)④ \(a \gt 0 , \quad m \gt 0 のとき \quad \sqrt{m^2 a} = m \sqrt{a}\)
⑤ \(\sqrt[3]{a}\cdot \sqrt[3]{b} = \sqrt[3]{ab}, \quad \frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}} = \sqrt[3]{\frac{a}{b}}\)
分母の有理化
① 平方根 \(( a \gt 0, \quad b \gt 0)\)
\(\begin{align} \frac{b}{\sqrt{a}} &= \frac{b\cdot \sqrt{a}}{\sqrt{a} \cdot \sqrt{a}} \\ &= \frac{b \sqrt{a}}{a} \end{align}\) \(\begin{align} \frac{c}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} &= \frac{c\cdot(\sqrt{a} – \sqrt{b})}{(\sqrt{a} + \sqrt{b})\cdot (\sqrt{a} – \sqrt{b})} \\ &= \frac{c\cdot(\sqrt{a} – \sqrt{b})}{a – b} \end{align}\)② 立方根
\(\begin{align} \frac{b}{\sqrt[3]{a}} &= \frac{b\cdot \sqrt[3]{a^2}}{\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{a^2}} \\ &= \frac{b \sqrt[3]{a^2}}{a} \end{align}\) \(\begin{align} \frac{c}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}} &= \frac{c \cdot (\sqrt[3]{a^2} -\sqrt[3]{ab}+ \sqrt[3]{b^2})}{ (\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}) \cdot (\sqrt[3]{a^2} -\sqrt[3]{ab}+ \sqrt[3]{b^2}) } \\ &= \frac{c \cdot ( \sqrt[3]{a^2} -\sqrt[3]{ab}+ \sqrt[3]{b^2} ) }{a + b} \end{align}\)※\((x+y)(x^2-xy+y^2) = x^3+y^3\)の公式を利用。
3.二重根号
二重根号
\(x \gt 0 , \quad y \gt 0\)のとき
\(\sqrt{x+y+2\sqrt{xy}}=\sqrt{(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2} = |\sqrt{x}+\sqrt{y}| = \sqrt{x} + \sqrt{y}\) \(\sqrt{x+y-2\sqrt{xy}}=\sqrt{(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2} = |\sqrt{x}-\sqrt{y}| \)
4.関連
関連 >> 平方根・基本問題1
