解と係数の関係 2
1.3次方程式の解と係数の関係
3次方程式 \(ax^3+bx^2+cx+d=0 \quad (a \neq 0)\) の3つの解を \(\alpha,\beta,\gamma\) とすると
\(\quad \alpha+\beta+\gamma = -\frac{b}{a},\quad \alpha \beta + \beta\gamma+\gamma\alpha = \frac{c}{a},\quad \alpha\beta\gamma = -\frac{d}{a}\)\(x^3+2x^2+3x+4=0\) の3つの解を \(\alpha,\quad \beta,\quad\gamma\)とする時
\(\alpha^3+\beta^3+\gamma^3\)の値を求めよ。
解答).
\(\alpha+\beta+\gamma = -2,\quad \alpha \beta + \beta\gamma+\gamma\alpha = 3,\quad \alpha\beta\gamma = -4\) \(\begin{align} \alpha^3+\beta^3+\gamma^3 -3\alpha\beta\gamma &= (\alpha+\beta+\gamma)(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2) \\ &= (\alpha+\beta+\gamma)\{ (\alpha+\beta+\gamma)^2-3(\alpha\beta + \beta\gamma+\gamma\alpha) \} \\ &= (-2)\{ (-2)^2-3(3) \} \\ &= 10 \end{align}\)よって
\(\alpha^3+\beta^3+\gamma^3 = 10+3\cdot(-4) = -2\)
3次方程式 \(ax^3+bx^2+cx+d=0\) の解を \(\alpha,\beta,\gamma\) とすると
① 因数分解
\(\quad \quad ax^3+bx^2+cx+d=a(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)\)② \(\alpha^n+\beta^n+\gamma^n\)について
\(\quad \begin{cases} a\alpha^3+b\alpha^2+c\alpha+d=0 \\ a\beta^3+b\beta^2+c\beta+d=0 \\ a\gamma^3+b\gamma^2+c\gamma+d=0\end{cases}\)から
\(\quad \begin{align} & a(\alpha^{n+3}+\beta^{n+3}+\gamma^{n+3})+b(\alpha^{n+2}+\beta^{n+2}+\gamma^{n+2}) \\ \quad & +c(\alpha^{n+1}+\beta^{n+1}+\gamma^{n+1})+d(\alpha^n+\beta^n+\gamma^n)=0 \end{align}\)ならば \( x, y, z\) は
\(t^3-at^2+bt-c=0\) の3つの解である。
3つの実数があって、これらの和は13、平方の和は61、かつ逆数の和は \(\frac{3}{4}\) である。
これらの3つの実数の和を求めよ。
解答).
3つの実数を \(x,y,z\) とすると、
\(\begin{cases} x+y+z = 13 \quad \cdots ①\\ x^2+y^2+z^2 = 61 \quad \cdots ② \\ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} = \frac{xy+yz+zx}{xyz}=\frac{3}{4} \quad \cdots ③ \\ \left( ∴ xy+yz+zx = \frac{3}{4}xyz \right) \\ \end{cases}\)\(\quad \begin{align} ①^2-②より、2(xy+yz+zx) = 13^2-61 = 108 \\ (∴ xy+yz+zx = 54 ,\quad xyz = 72)\end{align}\)
まとめると
\(\quad \begin{cases} x+y+z &= 13 \\ xy+yz+zx &= 54 \\ xyz &= 72 \end{cases}\)となる。以上より \(x,y,z\) は
\(t^3-13t^2+54t-72 = (t-3)(t-4)(t-6) = 0\)の解であるので、求める3つの実数は、3,4,6 と求められる。
2.共通解
① 共通解が2つの場合
\(\quad \quad \frac{a}{a’} = \frac{b}{b’} = \frac{c}{c’}\)② 共通解が1つの場合
(1)、(2)から、\(x^2を消去して得るxの1次方程式の解\alpha\)を求め、
どちらかの式に代入して成り立てば、\(\alpha\)が共通解になる。
① 因数分解による解法
\(\quad \quad x^2-ix-2 = 0\) について
\(\quad \quad (x-2i)(x+i) = 0\)よって、\(x=-i,\quad 2i\)
② 複素係数の方程式の実数解
与式を実部と虚部に分けて、
\(f(x)+ig(x) = 0\)
と変形し、\(f(x) = 0\) と \(g(x)=0\) との共通解(実数解)を求める。
