点と直線

1.点の座標

直線上の点

① 2点間の距離  : \(AB = |x_2 – x_1|,\quad OA=|x_1| \)

② 有効線分の長さ:\(ABをm:nに分ける点をP\) とすると、

\(\quad \quad x=\frac{nx_1+mx_2}{m+n} \quad (mn \gt 0 なら内分、mn \lt 0 なら外分)\)
例題1

2点 \(A(-3) , B(7)\) について \(2:3\) に内分する点Pを求めよ。

解答).

\(\quad x=\frac{3\times(-3) + 2\times7}{2+3}=\frac{5}{5}=1\)

 

平面上の点

 座標平面上の2点を \(A(x_1,y_1)、B(x_2,y_2)\) とするとき

① 2点間の距離

\(\quad AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\)

② 線分ABを \(m:n\) に内分する点Pは

\(\quad P(\frac{nx_1+mx_2}{m+n},\frac{ny_1+my_2}{m+n})\)

③ 三角形の重心。3点 \(A(x_1,y_1)、B(x_2,y_2)、C(x_3,y_3)\) を頂点とする三角形ABCの重心Gは

\(\quad G(\frac{x_1+x_2+x_3}{3},\frac{y_1+y_2+y_3}{3})\)
例題2

2点 \(A(-3,6) , B(7,21)\) について \(2:3\) に内分する点Pを求めよ。

\(\quad \begin{align} & G(\frac{3\times(-3)+2\times7}{2+3},\frac{3\times(6)+2\times21}{2+3}) \\ & = G(1,12) \end{align}\)

 

2.直線の方程式

※三角関数は後から理解すればよい。とりあえずスルーで。

直線の式

① 傾きm、切片nの直線の方程式は \( y = mx+n \)

  直線x軸の正の方向とのなす角(方向角)を \(\theta\) とすると

\(\quad \quad m = \tan \theta\)

② \(\begin{align} & y軸に平行な直線 \quad x=c \\ & x軸に平行な直線 \quad y=d \end{align}\)

③ 一般形 \(ax+by+c = 0 \quad (a,\quad bは同時に0ではない)\)

例題1

① 傾き3、y切片が-2の直線の方程式を求めよ。

② x軸に平行で 点(-2,5) を通る直線の方程式を求めよ。

解答①).

\(\quad y=3x-2\)

解答②).

\(\quad y=5\)

 

直線の公式

① 点 \((x_1,y_1)\) を通り、傾きmの直線

\(\quad y-y_1 = m(x-x_1)\)

② 2点 \((x_1,y_1)、(x_2,y_2)\) を通る直線

\(\quad y-y_1 = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1) \)

③ \(\begin{align}& x切片a、y切片bの直線 \\
& \frac{x}{a}+\frac{y}{b} = 1 \end{align}\)

例題1

① 点 \((2,5)\) を通り、傾き4の直線の方程式を求めよ。

② 2点 \((2,5)、(-4,11)\) を通る直線の方程式を求めよ。

解答①).

\(\quad \begin{align} y-5 &= 4(x-2) \\ y &= 4x -3 \end{align}\)

解答②).

\(\quad \begin{align}
y-5 &= \frac{(11)-(5)}{(2)-(-4)}(x-2) \\
y &= -x+7
\end{align}\)

 

ヘッセの標準形

原点から直線への垂線の長さを p 垂線とx軸の正の方向とのなす角を \(\theta\) とすると、直線の方程式は

\(\quad x \cos \theta + y \sin \theta = p\)

 

3.点と直線

点と直線との距離

点 \((x_1,y_1)\) から直線 \(ax+bx+c=0\) におろした垂線の長さ d

\(\quad d=\frac{| ax_1 + by_1 + c |}{\sqrt{a^2+b^2}}\)

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