点と直線
1.点の座標
① 2点間の距離 ： \(AB = |x_2 – x_1|,\quad OA=|x_1| \)
② 有効線分の長さ：\(ABをm:nに分ける点をP\) とすると、
\(\quad \quad x=\frac{nx_1+mx_2}{m+n} \quad (mn \gt 0 なら内分、mn \lt 0 なら外分)\)2点 \(A(-3) , B(7)\) について \(2:3\) に内分する点Pを求めよ。
解答).
\(\quad x=\frac{3\times(-3) + 2\times7}{2+3}=\frac{5}{5}=1\)
座標平面上の2点を \(A(x_1,y_1)、B(x_2,y_2)\) とするとき
① 2点間の距離
\(\quad AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\)② 線分ABを \(m:n\) に内分する点Pは
\(\quad P(\frac{nx_1+mx_2}{m+n},\frac{ny_1+my_2}{m+n})\)③ 三角形の重心。3点 \(A(x_1,y_1)、B(x_2,y_2)、C(x_3,y_3)\) を頂点とする三角形ABCの重心Gは
\(\quad G(\frac{x_1+x_2+x_3}{3},\frac{y_1+y_2+y_3}{3})\)2点 \(A(-3,6) , B(7,21)\) について \(2:3\) に内分する点Pを求めよ。
2.直線の方程式
※三角関数は後から理解すればよい。とりあえずスルーで。
① 傾きm、切片nの直線の方程式は \( y = mx+n \)
直線x軸の正の方向とのなす角(方向角)を \(\theta\) とすると
\(\quad \quad m = \tan \theta\)② \(\begin{align} & y軸に平行な直線 \quad x=c \\ & x軸に平行な直線 \quad y=d \end{align}\)
③ 一般形 \(ax+by+c = 0 \quad (a,\quad bは同時に0ではない)\)
① 傾き3、y切片が-2の直線の方程式を求めよ。
② x軸に平行で 点(-2,5) を通る直線の方程式を求めよ。
解答①).
\(\quad y=3x-2\)解答②).
\(\quad y=5\)
① 点 \((x_1,y_1)\) を通り、傾きmの直線
\(\quad y-y_1 = m(x-x_1)\)② 2点 \((x_1,y_1)、(x_2,y_2)\) を通る直線
\(\quad y-y_1 = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1) \)③ \(\begin{align}& x切片a、y切片bの直線 \\
& \frac{x}{a}+\frac{y}{b} = 1 \end{align}\)
① 点 \((2,5)\) を通り、傾き4の直線の方程式を求めよ。
② 2点 \((2,5)、(-4,11)\) を通る直線の方程式を求めよ。
解答①).
\(\quad \begin{align} y-5 &= 4(x-2) \\ y &= 4x -3 \end{align}\)解答②).
\(\quad \begin{align}y-5 &= \frac{(11)-(5)}{(2)-(-4)}(x-2) \\
y &= -x+7
\end{align}\)
原点から直線への垂線の長さを p 垂線とx軸の正の方向とのなす角を \(\theta\) とすると、直線の方程式は
\(\quad x \cos \theta + y \sin \theta = p\)
3.点と直線
点 \((x_1,y_1)\) から直線 \(ax+bx+c=0\) におろした垂線の長さ d
\(\quad d=\frac{| ax_1 + by_1 + c |}{\sqrt{a^2+b^2}}\)