和の記号と階差数列
1.和の記号
数列の和 a_1 + a_2 + \cdots \cdots +a_n を \displaystyle \sum_{k=1}^{n} a_k と書く。
— 性質 —
(1). \displaystyle \sum_{k=1}^{n} (a_k + b_k) = \sum_{k=1}^{n} a_k + \sum_{k=1}^{n} b_k
(2). \displaystyle \sum_{k=1}^{n} c a_k = c \sum_{k=1}^{n} a_k
(3). \displaystyle \sum_{k=1}^{n} c = nc
※ c は定数。
(1). \displaystyle \sum_{k=1}^{n} k = 1 + 2 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}
(2). \displaystyle \sum_{k=1}^{n} k^2 = 1^2 + 2^2 + \cdots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
(3). \displaystyle \sum_{k=1}^{n} k^3 = 1^3 + 2^3 + \cdots + n^3 = \{ \frac{n(n+1)}{2} \}^2
(4). \displaystyle \sum_{k=1}^{n} k^4 = 1^4 + 2^3 + \cdots + n^4 = \frac{1}{30}n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)
\displaystyle \sum_{k=1}^{n} (k+1)^3-k^3 の値を2通りの計算をする事で証明する。
\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{n} \{ (k+1)^3-k^3 \} &=& \sum_{k=1}^{n} ( k^3+3k^2+3k+1-k^3 ) \\ &=& \sum_{k=1}^{n}(3k^2+3k+1) \\ \end{eqnarray}
ここで左辺と右辺について、別々に式変形をする。
\begin{eqnarray}
左辺 &=& (2^3-1^3)+(3^3-2^3)+(4^3+3^3)+ \cdots +((n+1)^3+n^3) \\
&=& -1^3 + (2^3 – 2^3)+(3^3-3^3)+\cdots + (n^3-n^3) +(n+1)^3 = (n+1)^3-1 \\
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
右辺 &=& \sum_{k=1}^{n}(3k^2+3k+1) = \sum_{k=1}^{n} 3k^2 +\sum_{k=1}^{n} 3k + \sum_{k=1}^{n} 1 \\
&=& 3 \sum_{k=1}^{n} k^2 + 3\frac{1}{2}n(n+1) +n \\
\end{eqnarray}
次に、右辺=左辺として再計算して、目的の二乗の和を求める。
\begin{eqnarray} 3 \sum_{k=1}^{n} k^2 + \frac{3}{2}n(n+1) +n &=& (n+1)^3-1 \\ 3 \sum_{k=1}^{n} k^2 &=& (n+1)^3 – \frac{3}{2}n(n+1) – (n+1) \\ &=& \frac{(n+1)}{2} \{ 2(n+1)^2 -3n -2 \} \\ &=& \frac{(n+1)}{2}(2n^2 +n) \\ &=& \frac{1}{2}n(n+1)(2n +1) \\ \sum_{k=1}^{n} k^2 &=& \frac{1}{6}n(n+1)(2n +1) \\ \end{eqnarray}
となる。
— 他の累乗の和について —
同様に、3乗の和については
(k+1)^4 – k^4 の和について計算を行う
4乗の和については
(k+1)^5 – k^5 の和について計算を行う事で求めることが出来る。
① \displaystyle \sum_{k=1}^{n} k(k+1) を計算せよ。
② \displaystyle \sum_{k=1}^{10} k(k+1) を計算せよ。
例題①).
\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{n} k(k+1) &=& \sum_{k=1}^{n}k^2 \sum_{k=1}^{n} k\\ &=& \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) + \frac{1}{2}n(n+1) \\ &=& \frac{1}{6}n(n+1)\{ (2n+1) +3 \} \\ &=& \frac{1}{6}n(n+1)(2n+4) \\ &=& \frac{1}{3}n(n+1)(n+2) \\ \end{eqnarray}
となる。
例題②).
①の結果から、n=1 を代入することで求められる。
\frac{1}{3}10(10+1)(10+2) = 440
2.階差数列
1,2,4,7,11,16,22,\cdots \cdots という数列がある。
この数列の隣の差を並べると、
1,2,3,4,5,6,\cdots \cdots のように等差数列となっている。
このように差が数列になっている時、この差の数列を階差数列という。
数列 \{ a_n \} の階差数列を \{ b_n \} とすると
b_n = a_{n+1} -a_nこれより、数列 \{ a_n \} は
\displaystyle a_n = \sum_{k=1}^{n-1} b_k \quad (n \ge 2)数列 3,6,11,18,27,\cdots \cdots の一般項 a_n を求めよ。
例題).
求める数列 a_n \quad (3,6,11,18,27,\cdots \cdots ) の差の数列は
3,5,7,9,\cdots \cdots となっている
初項 b_1 = 3 , 公比 d = 2の数列なので
b_n = 3+(n-1)2 = 2n+1よって数列 a_n は
\begin{eqnarray} a_n &=& 3 + \sum_{k=1}^{n-1} 2k+1 \\ &=& 3+ 2\frac{1}{2}(n-1)n + (n-1) \\ &=& n^2 +2 \quad (n \ge 2)\\ \end{eqnarray}
ただし、n=1 の時も成り立つ。
3.その他数列
\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{n}(c_{k+1}-c_k) &=& (c_2 -c_1) +(c_3 -c_2) +(c_4 – c_3) + \cdots \cdots + (c_{n+1} -c_n) \\ &=& c_{n+1} -c_1 \\ \end{eqnarray}
この形になる数列の和の問題が多い。
\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)} \end{eqnarray}
を求めよ。
例題).
\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)} &=& \sum_{k=1}^{n} (\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}) \\ &=& (\frac{1}{1}-\frac{1}{2}) + (\frac{1}{2}-\frac{1}{3}) + (\frac{1}{3}-\frac{1}{4}) + \cdots \cdots + (\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}) \\ &=& 1- \frac{1}{n+1} = \frac{n}{n+1} \\ \end{eqnarray}
\begin{eqnarray} S_n &=& 1+2x +3x^2 + \cdots + nx^{n-1} \\ x S_n &=& \quad \quad x+2x^2+\cdots + (n-1)x^{n-1} + nx^n \\ \end{eqnarray}
二つの式の差をとって
\begin{eqnarray} (1-x)S_n &=& 1+x+x^2+ \cdots + x^{n-1} -nx^n \\ &=& \frac{1-x^n}{1-x} – nx^n \quad (x \neq 0)\\ S_n &=& \frac{1-(n+1)x^n+nx^{n+1}}{(1-x)^2} \quad (x \neq 1) \\ \end{eqnarray}
となる。x=1 の時
\begin{eqnarray} S_n = \frac{n(n+1)}{2} \\ \end{eqnarray}
まとめると、
\begin{eqnarray} x \neq 1 の時、 \quad S_n = \frac{1-(n+1)x^n+nx^{n+1}}{(1-x)^2} \\ x =1 の時、\quad S_n = \frac{n(n+1)}{2} \\ \end{eqnarray}
