導関数
1.導関数
関数 \( y=f(x) \) の \( x=a \) における微分係数 \(f'(a)\) である。
この \( a \) を変数とみれば、1つの関数となる。
この関数を導関数 \(f'(x)\) と言い、次の形で示す。
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) – f(x)}{h} \]
次の関数の導関数を求めよ。
(1). \( f(x) = 3x+2 \)
(2). \( f(x) = x \)
(3). \( f(x) = 5x^2 \)
(4). \( f(x) = x^2 \)
(5). \( f(x) = x^3 \)
例題(1).
\( \displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{ (3(x+h)+2)-(3x+2) }{ h }\)
\( \displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{3h}{h} = 3 \)
例題(2).
\( \displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)-(x)}{h} \)
\( \displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{h}{h} = 1\)
例題(3).
\( \displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{5(x+h)^2-(5x^2)}{h} \)
\( \displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{10xh + h^2}{h} \)
\( \displaystyle = \lim_{h \to 0} 10x + h = 10x \)
例題(4).
\( \displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)-2 – (x^2)}{h} \)
\( \displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{2xh + h^2}{h} \)
\( \displaystyle = \lim_{h \to 0} 2x +h = 2x \)
例題(5).
\( \displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^3 – x^3}{h}\)
\( \displaystyle = \lim_{h \to 0} \frac{3x^2 h +3xh^2 + h^3}{h}\)
\( \displaystyle = \lim_{h \to 0} 3x^2 + 3xh + h^3 = 3x^2\)
(1). \( y = x^n \quad \Longrightarrow \quad y’ = n x^{n-1} \)
例). \( (x)’=1 , \quad , (x^2)’ = 2x,\quad (x^3)’=3x^2 \)
(2). \( y = c \quad (cは定数) \quad \Longrightarrow \quad y’ = 0 \)
(3). \( y=kf(x) \quad (k は定数) \quad \Longrightarrow \quad y’ = k f'(x) \)
(4). \( y = f(x) \pm g(x) \quad \Longrightarrow \quad y’ = f'(x) \pm g'(x) \)
(5). \( y = f(x)g(x) \quad \Longrightarrow \quad y’ = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) \)
次の関数を[]内に示した変数で微分せよ。
(1). \( y = 3x^3 +2x^2 +x + 1 \quad [x] \)
(2). \( y = x^2(2x+1) \quad [x] \)
(3). \( S = \pi r^2 \quad [r] \)
(4). \( V = \frac{4}{3}\pi r^3 \quad [r]\)
例題(1).
\( y’ = 3(x^3)’ + 2(x^2)’ + (x)’ +1 = 9x^2 + 4x + 1 \)
例題(2).
\( y’ = (x^2)'(2x+1) + x^2′(2x+1)’ = 6x^2 +2x \)
例題(3).
\( S’ = \pi (r^2)’ = 2 \pi r \)
例題(4).
\( V’ = \frac{4}{3} \pi (r^3)’ = 4 \pi r^2 \)
2.曲線の接線
曲線 \( y = f(x) \) 上の点 \( a, f(a) \) における接線の方程式は
\[ y – f(a) = f'(a)(x-a) \]
となる。
— 曲線の法線 —
法線とは、ある直線と垂直に交わる直線の事である。
上で求めた接線に対して、同点 \( (a,f(a)) \) における法線は
\[ y – f(a) = -\frac{1}{f'(a)}(x-a) \]
となる。ある直線とそれに対する法線の傾きの積は、-1となる。
次の曲線上の与えられた点における接線と法線の方程式を求めよ。
(1). \( y = f(x) = (x+2)^2 \quad (-3 ,1) \)
(2). \( y= f(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 4 \quad (a,-\frac{1}{2}a^2+4) \)
例題(1).
\( f'(x) = 2(x+2) \quad \Longrightarrow f'(-3) = -2\)
となるので、接線と法線の方程式は
接線： \( y -1 = -2(x+3) \quad \Longleftrightarrow \quad y = -2x-5 \)
法線： \( y -1 = \frac{1}{2}(x+3) \quad \Longleftrightarrow \quad y = \frac{1}{2}x + \frac{5}{2} \)
例題(2).
\( f'(x) = -x \quad \Longleftrightarrow \quad f'(a) = -a \)
となるので、接線と法線の方程式は
接線：\( y – (-\frac{1}{2}a^2+4) = -a(x-a) \quad \Longleftrightarrow \quad y = -ax + \frac{1}{2}a^2 + 4 \)
法線：\( y – (-\frac{1}{2}a^2+4) = \frac{1}{a}(x-a) \quad \Longleftrightarrow \quad y = \frac{1}{a}x -\frac{1}{2}a^2 +3 \)
3.関数の増減
ある区間内の任意の \( x_1,x_2\) に対して、
\(x_1 < x_2 \Longrightarrow f(x_1) < f(x_2) \) の時、
\( f(x) \) はその区間で増加する。また増加関数であるともいう。
\(x_1 < x_2 \Longrightarrow f(x_1) > f(x_2) \) の時、
\( f(x) \) はその区間で減少する。また増加関数であるともいう。
また関数 \( f(x) \) がある区間 \( a < x < b \) において、
その区間内の全ての \( x \) に対して、
\( f'(x) > 0 \Longrightarrow f(x) は a < x < b で増加する。 \)
\( f'(x) < 0 \Longrightarrow f(x) は a < x < b で減少する。 \)
次の関数の増減を調べよ。
\[ f(x) = x^3-3x^2-24x -4 \]
例).
まず微分をして、符号を調べます。
\( f'(x) = 3x^2 -6x -24 \)
そして、次の表（ 増減表 ）にまとめることで分かりやすくします。
| \( x \) | \( \cdots \) | \( -2 \) | \( \cdots \) | \( 4 \) | \( \cdots \) |
| \( f'(x) \) | \( + \) | \( 0 \) | \( – \) | \( 0 \) | \( + \) |
| \( f(x) \) | \( \nearrow \) | \( -24 \) | \( \searrow \) | \( -84 \) | \( \nearrow \) |
① 一行目は \( x \) に範囲を表し、\( f'(x)=0 \) となる値で分ける。
② 二行目は \( f'(x) \) の符号を表す。
③ 三行目は \( f(x) \) の増減を表す。増加は \( \nearrow \) 、減少は \( \searrow \) で表す。
4.極大・極小
・関数 \(f(x) \) の値が、\( x=a \) を境目として”増加から減少”に変わる時、
\( f(x) は x=a \) で極大になるといい、その時の値 \( f(a) \) を”極大値”という。
・関数 \(f(x) \) の値が、\( x=a \) を境目として”減少から増加”に変わる時、
\( f(x) は x=a \) で極小になるといい、その時の値 \( f(a) \) を”極小値”という。
\( f'(a) \) かつ \( x=a \) の前後での \( f'(a) \) の
符号の変化で判定することが出来る。
| \( f'(a) \) | \( 正 \quad \to 負 \) | \( 負 \quad \to 正 \) |
| \( f(a) \) | 極大値 | 極小値 |
※ \( f'(a)=0 \) であっても、\( x=a \) の前後で \( f'(a) \) の符号が変わらなければ、、極値でない。
\( f(x) = x^3-6x^2+9x-1\) のグラフをかけ。
例題).
\( f'(x) = 3x^2 -12x^2 +9 = 3(x-3)(x-1) \)
となるので、増減表を書くと
| \( x \) | \( \cdots \) | \( 1 \) | \( \cdots \) | \( 3 \) | \( \cdots \) |
| \( f'(x) \) | \( + \) | \( 0 \) | \( – \) | \( 0 \) | \( + \) |
| \( f(x) \) | \( \nearrow \) | \( 極大値(3) \) | \( \searrow \) | \( 極小値(-1) \) | \( \nearrow \) |
となるので、グラフを描くと下記のようになります。
