ε – δ 論法
1.ε-δ論法
・解析学に置いて、実数値を用いて極限を議論する方法。
・19世紀に発案。
・関数の極限を厳密に議論する際によく使う。
下記からは、数学記号を多用するので、
次のページを参考にしてください。
関連 >> 数学記号と意味
\lim_{x \to a} f(x) = b
↓ \varepsilon – \delta 論法で書き直し
\forall \varepsilon > 0 , \exists \delta > 0 \quad s.t. \quad \forall x \in \mathbb{R} , 0 < | x-a | < \delta \to |f(x)-b| < \varepsilon
と表せる。
これの意味は、
任意の \varepsilon ( \forall \varepsilon ) に対して、\delta が存在する( \exists \delta )。
どのような \delta か( s.t. = such \quad that 以下説明)というと、
もし |x-a| < \delta ならば、 |f(x)-L| < \varepsilon となるような \delta 。
そのまま読んでみました。
分かりやすい文にします。
「任意の \varepsilon に対して、もし |x-a| < \delta ならば、 |f(x)-L| < \varepsilon となるような \delta が存在する。 」
「この時 \lim_{x \to a} f(x) = b となる事が証明できる。」
私はこの式を見て、眠たくなりました。
みなさんも頑張って
\forall \varepsilon > 0 , \exists \delta > 0 \quad s.t. \quad \forall x \in \mathbb{R} , 0 < | x-a | < \delta \to |f(x)-b| < \varepsilon
ある任意の正の数 \varepsilon を決めると、適当な \delta が存在する、という事だ。
そして、 0 < |x-a| < \delta を満たす全ての実数 x に対し、 |f(x) -b | < \varepsilon
が成り立つ。
\varepsilon は有限の値だが、任意なので好きなだけ小さく選んでも良い。
少しだけ、具体的に考えてみる。
\varepsilon_1 に対応して、 \delta_1 が存在し、
0 < |x-a| < \delta_1 \to |f(x)-b| < \varepsilon_1
が成り立つ。
次に \varepsilon_2 (< \varepsilon_1) に対応して、 \delta_2 が存在し、
0 < |x-a| < \delta_2 \to |f(x)-b| < \varepsilon_2
が成り立つ。
この式に少し付け加えると、
0 < |x-a| < \delta_2 \to |f(x)-b| < \varepsilon_2 < \varepsilon_1
となる。
そのため、ものすごい小さい \varepsilon ‘ 選び、
それに対応した \delta ‘ を決めておけば、
\varepsilon ‘ 以上の \varepsilon に関して、 \delta ‘
が成り立つ。
逆に、小さい \varepsilon で \delta が存在しなければ、
任意の \varepsilon に対して、適当な \delta が存在するという論理を満たさない。
これが極限を議論できる理由である。
↓ \varepsilon を小さくしても成り立つ。
↓
どんなに小さな \varepsilon を考えても、
0 < |x-a| < \delta ならば、 |f(x) -b | < \varepsilon
になるような \varepsilon があるなら、
\lim_{x \to a} f(x) = b
である。
2.ε-δ論法 (証明)
\varepsilon – \delta 論法で \lim_{x \to 2} ( 3x +1 ) = 7
を証明せよ。
例).
\varepsilon – \delta 論法で書き直すと、
\forall \varepsilon > 0 , \exists \delta > 0 , s.t. \forall x \in \mathbb{R} , 0 < |x-2| < \delta,\to |f(x)-7| < \varepsilon
となる。これを示す。
|x-2| < \delta であれば、
\begin{eqnarray} | (3x+1) – 7 | &=& |3x-6| \\ &=& 3|x-2| \\ < 3 \delta \end{eqnarray}
よって、
\begin{eqnarray} 3\delta &<& \varepsilon \\ \delta &<& \frac{\varepsilon}{3} \end{eqnarray}
となる \delta をとれば、 |f(x) -7 < \varepsilon| を満たす。
従って、 \lim_{x \to 2} ( 3x +1 ) = 7 を示せた。
\varepsilon – \delta 論法で次の極限を証明せよ。
(1). \displaystyle \lim_{x \to 2} (x^2 + 3x) = 10
(2). \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{1}{1+x} = \frac{1}{2}
例題1).
\varepsilon – \delta 論法で書き直すと、
\forall \varepsilon > 0 , \exists \delta > 0 , s.t. \forall x \in \mathbb{R} , 0 < |x-2| < \delta,\to |f(x)-10| < \varepsilon
となる。これを示す。
| x-2 | < \delta であれば、
\begin{eqnarray} | x^2 +3x -10 | &=& | (x-2)(x+5) | \\ &=& |x-2||x+5| \\ &=& |x-2||(x-2)+7| & \leq & |x-2|(|x-2|+7) \end{eqnarray}
ここで \delta = min(\frac{\varepsilon}{8} , 1) と置く。
min(a,b) は a,b どちらか小さい方を選ぶという事です。
つまり、 |x-2| < \frac{\varepsilon}{8} と |x-2| < 1 が成り立つ
\begin{eqnarray} |x^2+3x-10| & \leq & |x-2|(|x-2|+7) \\ & < & \frac{\varepsilon}{8}(1+1) \\ & = & \varepsilon \end{eqnarray}
よって、任意の \varepsilon を決めれば、
\delta = min(\frac{\varepsilon}{8},1) と \delta を決めればよい。
与式の証明が出来た。
例題2).
\varepsilon – \delta 論法で書き直すと、
\forall \varepsilon > 0 , \exists \delta > 0 , s.t. \forall x \in \mathbb{R} , 0 < |x-1| < \delta,\to |f(x)-\frac{1}{2}| < \varepsilon
となる。これを示す。
| x-1 | < \delta であれば、
\begin{eqnarray} | \frac{1}{1+x} – \frac{1}{2} | &=& |\frac{1}{2}\frac{1-x}{1+x} | \\ &=& \frac{1}{2}|\frac{x-1}{x+1}| \end{eqnarray}
ここで、下記の不等式を用いる。
\begin{eqnarray} |1+x| + |1-x| & \geq & |(1+x) + (1-x) | = 2 \\ |x+1| & \geq & 2 – |x-1| \end{eqnarray}
これを用いると、
\begin{eqnarray} | \frac{1}{1+x} – \frac{1}{2} | &=& \frac{1}{2}|\frac{x-1}{x+1}|\\ & \leq & \frac{1}{2} \frac{|x-1|}{2-|x-1|} \\ \end{eqnarray}
となるので、
ここで \delta = min( \varepsilon , \frac{3}{2}) と置く。
min(a,b) は a,b どちらか小さい方を選ぶという事です。
つまり、 |x-1| < \varepsilon と |x-2| < \frac{3}{2} が成り立つ
よって、
\begin{eqnarray} | \frac{1}{1+x} – \frac{1}{2} | & \leq & \frac{1}{2} \frac{|x-1|}{2-|x-1|}\\ & < & \frac{1}{2} \frac{\varepsilon}{2-\frac{3}{2}} \\ & = & \varepsilon \\ \end{eqnarray}
よって、任意の \varepsilon を決めれば、
\delta = min(\varepsilon,\frac{3}{2}) と \delta を決めればよい。
与式の証明が出来た。
