微積一歩

1.高校物理のおさらい 

大学に入ると速度や距離の式が微積分の式で表される。
そんなの当り前だって？
そう思った方は読み飛ばしていただいて構わない。

高校では、恐らく数学の進み具合と、物理の進み具合が
異なる可能性があるので、物理で微積分を使わないで
紐解いていくのだろうと思われるが、微積分の式で
表すともっと一般化され、意味も分かりやすくなる。

高校で習う等加速度運動の式をおさらいしてみよう。

• $v = v_0+at$
• $x = v_0 + \frac{1}{2}at^2$

それと
$v^2 – v_o^2 = 2ax$
のような式はあるが、これは上の2式から導出
すればいいし、しなくても問題は解けますし
必要性がわからないので今回は説明省きます。

 2.微分

では、上の2式について
速度$v$というのは、距離($x$)÷時間($t$)だ。
式で記述すると
$v=\frac{x}{t}$
ただし、物理でほぼほぼ扱われる速度というのは、
瞬間の速度を扱う。

瞬間とは、時間tが限りなく小さくした時の事だ。
時刻t、位置$x$として、瞬間的に$\Delta t$秒時間が進んだとする。
距離は $x(t) -> x(t+\Delta t)$
時間は $t -> t +\Delta t$
と変化した。この時の速度vは
$v= \frac{ (x(t+\Delta t) – x(t))} { \Delta t }$
瞬間を捉えたいので、$\Delta t$を非常に小さくすると
$v= \lim_{\Delta t \to 0} \frac{ (x(t+\Delta t) – x(t))} { \Delta t}$
と表される。

分かった人もいるとは思うが、これは微分の定義式だ。
そのため、
$v = \frac{dx(t)} { dt }$
と表すことができる。

上に戻って高校で習った等加速度運動の距離の式をtで微分してみよう。
きっと速度の式になったはずだ。

更に、加速度$a$というのは速度($v$)÷時間($t$)だ。
式で記述すると、、、というのは全部省略して
結果だけ、
$a = \frac{dv(t)} { dt }$
となる。

つまり、
距離$x$を時間$t$で微分 → 速度$v$
速度$v$を時間$t$で微分 → 加速度$a$
となるのだ。

ここで良い勘を持った人は分かったと思うが
高校では等加速度運動が一般的だったが、
これらの微分の式は、加速度が一定でなくとも成り立つ。
大学では、加速度が変化する問題も扱っていくことになる。

$v = \frac{dx(t)} { dt }$
距離$x$を時間$t$で微分 → 速度$v$
$a = \frac{dv(t)} { dt }$
速度$v$を時間$t$で微分 → 加速度$a$

 3.積分

では次に、ある時刻t、物体の位置$x(t)$、速度$v(t)$で時間が瞬間$dt$進んだ時の
物体の位置は
$x(t+dt) = x(t) + v(t)dt$
と近似できる。式変形すると
$x(t+dt) – x(t) = v(t)dt$
$dx = v(t)dt$
となる。これを積分すると
$x = \int v(t)dt$
となる。つまり速度$v$を積分すると、距離$x$となる。

同様に、加速度$a$を積分すると、速度$v$となる。
つまり、
加速度$a$を時間$t$で積分 → 速度$v$
速度$v$を時間$t$で積分 → 距離$x$
となるのだ。

$v = \int a(t)dt$
加速度$a$を時間$t$で積分 → 速度$v$
$x = \int v(t)dt$
速度$v$を時間$t$で積分 → 距離$x$

このように大学では、高校で習った様々な式を微積分の式の形で表す。