2次方程式と因数分解
1.複2次式の因数分解
複2次式の因数分解
\(ax^4+bx^2+c = 0 \quad (a \neq 0)\)を解く方法2種です。
① \(x^2=t\)と置いて、\(at^2+bt+c = 0\)の因数分解を用いる。
② \(ax^4+bx^2+c = a (x^2+p)^2-qx^2 = 0\)のように平方の差の形にしてみる。
※①に関しては、慣れたら置かなくても出来るようにしましょう。
例1).\(x^4+5x^2-6 = 0 \)を解く。
\(x^2 = t \)と置く。
\(\begin{align} t^2+5t-6 &= (t+6)(t-1) \\ &= (x^2+6)(x^2-1) \\ &= (x^2+6)(x+1)(x-1) \\ &=0 \end{align}\)\(x = \pm \sqrt{6},\pm1 \)
例2).\(x^4+2x^2+9 = 0 \)を因数分解する。
\(\begin{align} x^4+2x^2+9 &= (x^2+3)^2 -4x^2 \\ &= (x^2+2x+3)(x^2-2x+3) \end{align}\)
2.判別式と因数分解とグラフ
関連リンク >> 2次方程式
判別式と因数分解とグラフ
判別式Dと解の個数の関係のおさらい。
\(ax^2+bx+c=0\)の式について、
\( D=b^2-4ac \quad \begin{cases} \gt 0 \quad \text{解の個数は2個} \\ = 0 \quad \text{解の個数は1個} \\ \lt 0 \quad \text{解の個数は0個} \end{cases}\)
※二次方程式について
① \(D \lt 0\)の時、実数解はないので、因数分解は出来ない。
② \(D = 0\)の時、重解となり\((x-p)^2\)と因数分解できる。
\(x軸と接しているx座標が解pとなる。\)
③ \(D > 0\)の時、解が二つ出来るので\((x-p)(x-q)\)と因数分解できる。
\(x軸と交わっているx座標が解p,qとなる。\)
