高次方程式
1.高次方程式
① 因数定理などを利用して因数分解する。
\(\quad f(x) = f_1(x)\cdot f_2(x) \cdot f_3(x) \quad \)と因数分解出来るとき
\(\quad f(X) =0 \Longleftrightarrow \begin{cases} f_1(x) = 0 \quad または \\ f_2(x) = 0 \quad または \\ f_3(x) = 0\end{cases}\)② 実数係数のn次方程式が虚数解\(a+bi\)を持てば、必ず\(a-bi\)(共役複素数)を持つことを利用する。
2.高次不等式
\(f(x) \gt 0 \quad or \quad f(x) \lt 0 \quad\)の形に整理し、
\(f(x)\)を因数分解して解を求める。(表やグラフを用いる。)
例).3次不等式の場合
\((\alpha,\beta,\gammaを\alpha \lt \beta \lt \gammaの実数とする。)\)① \((x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)\gt 0\)の解は
\(\quad \alpha \lt x \lt \beta,\quad \gamma \lt x\)② \((x-\alpha)^2(x-\beta) \lt 0 \)の解は
\(\quad x \lt \beta \quad (x \neq \alpha) \)\(x^3-3x^2-6x+8 \gt 0 \quad \)を解け
解答).
\(\begin{align} f(x) &= x^3-3x^2-6x+8 \\ &= (x+2)(x-1)(x-4) \end{align}\)
| \(x\) | -2 | 1 | 4 | ||||
| \(x+2\) | – | 0 | + | + | + | + | + |
| \(x-1\) | – | – | – | 0 | + | + | + |
| \(x-4\) | – | – | – | – | – | 0 | + |
| \(f(x)\) | – | 0 | + | 0 | – | 0 | + |
ゆえに
\(\quad -2 \lt x \lt 1,\quad 4 \lt 4\)
\(2x^4-9x^3+4x^2+21x-18 \lt 0 \quad \)を解け
解答).
\(f(x)=2x^4-9x^3+4x^2+21x-18\)とおくと、\(f(1)=0\)
である事から
\(\begin{align} f(x) &= 2x^4-9x^3+4x^2+21x-18 \\ &= (x-1)(2x^3-7x^2-3x+18) \\ &= (2x+3)(x-1)(x-2)(x-3) \end{align}\)
| \(x\) | \(-\frac{3}{2}\) | 1 | 2 | 3 | |||||
| \(2x+3\) | – | 0 | + | + | + | + | + | + | + |
| \(x-1\) | – | – | – | 0 | + | + | + | + | + |
| \(x-2\) | – | – | – | – | – | 0 | + | + | + |
| \(x-3\) | – | – | – | – | – | – | – | 0 | + |
| \(f(x) \) |
+ | 0 | – | 0 | + | 0 | – | 0 | + |
ゆえに
\(-\frac{3}{2} \lt x \lt 1 , \quad 2 \lt x \lt 3\)
3.2項方程式
\(x^n = a^n\)を二項方程式という。
必ず\(x=a\)を解としてもつので、因数分解すると
\((x-a)(x^{n-1}+ax^{n-2}+a^2x^{n-3}+\cdots + a^{n-2}x + a^{n-1})=0
\)
となり、nが偶数のときはさらに、\(x=-a\)も解となる。
\(x^3 = 1\)の3つの解のこと。
\(x = 1\)が解の1つなので、
\(\quad x^3-1 = (x-1)(x^2+x+1) = 0\) \(\quad ∴ x=1,\quad \frac{-1\pm\sqrt{3}i}{2}\)
\(\frac{-1+\sqrt{3}i}{2},\quad \frac{-1-\sqrt{3}i}{2}\quad \)を1の虚数立方根といい
一方を\(\omegaとすれば、他方は\omega^2\)となる。
\(\omega^2\)について
① \(\omega = \frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\)とすると、
\(\quad \omega^2 = \frac{-2-2\sqrt{3}i}{4} = \frac{-1-\sqrt{3}i}{2}\)② \(\omega = \frac{-1-\sqrt{3}i}{2}\)とすると、
\(\quad \omega^2 = \frac{-2+2\sqrt{3}i}{4} = \frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\)
