ロルの定理
1.ロルの定理 (Rolle’s theorem)
有界な閉区間 [a,b] 上で定理された
連続関数 f が 開区間 (a,b) で微分可能であり、
f(a) = f(b)
を満たすとき、導関数 f'(x) は
f'(c) = 0 \quad (a < c < b)
となる c が少なくとも1つ存在する。
※端の a,b については微分不可能でもよい。
直感的には、a < c < b 内に少なくとも1つは、f'(c) = 0 となる地点が存在する。
つまり、傾きが0となる地点が存在する。
ちなみにロルの定理を使った問題は、下記の問題しか思いつきません(;^ω^)
ただ、テイラー展開の証明やロピタルの定理の証明などに使われるので、知っておくことは重要です。
f(x) が [a,b] で連続で第二次導関数が存在する時、
f(b) = f(a) + f'(a)(b-a) + \frac{1}{2} f”(c)(b-a)^2 \quad (a < c < b)
を満たす、 c が少なくとも1つ存在する事を示せ。
例題).
F(x) = f(x) + f'(x)(b-x) + \frac{1}{2}k (b-x)^2
と置く。f(x) が [a,b] で第二次導関数があるので、
F(x) も [a,b] で第二次導関数が存在する。
この時の k は F(a) = F(b) が成立する k とする
つまり、
f(a) + f'(a)(b-a) + \frac{1}{2}k (b-a)^2 = f(b)
となる。
ここで、 F(x) を微分すると
F'(x) = f”(x)(b-x) -k (b-x)
ロルの定理より、 F'(c) = 0 となる c \quad ( a < c < b ) が存在するので、
0 = f”(c)(b-c) – k(b-c) \quad \quad ∴k=f”(c)
よって、題意は示せた。
2.ロルの定理の証明 (厳密ではない)
厳密に証明するためには、「最大値・最小値の原理」を証明しなければならないが、ここでは省略する。
いつか記事に書きます。
連続な関数 f は閉区間 [a,b] において、必ず最大値・最小値を持つ。
※ この証明には、Bolzano-Weierstrass の定理を用いる。
※現条件 (仮定)
・有界閉区間 [ a,b ] 上で定義された関数 f(x)
・関数 f(x) は連続関数 ( [a,b] の範囲 )
・関数 f(x) は (a,b) で微分可能。
・ f(a) = f(b) 。
① f(x) = f(a) = f(b) となる定数関数の場合
ただし、 a < x < b となる x とする。
微分の定義式から、
(a,b) の区間で f'(x) = 0 となる。
② f(x) > f(a) であるような関数 f(x) の場合
ただし、 a < x < b となる x とする。
f(x) は区間 [a,b] で連続であるから、
「最大値・最小値の原理」より、この区間で f(x) は最大値・最小値を取る。
f(a) = f(b) より、区間 [a,b] で f(x) は
最大値・最小値のうち、少なくとも 1 つは f(a) = f(b) とは異なる。
つまり、 ( a,b ) で f(x) は少なくとも 1 つは最大値・最小値を持つ。
ここで、 f(c) が最大値であるとする。
ただし、 a < c < b 、 f(c) > f(a) とする。
次に h は c-a,\quad b-c よりも小さい正の数とすると、
a < c-h < c+h < b
となる。
f(c) は最大値なので、
f(c \pm h) – f(c) \le 0
\frac{f(c-h) – f(c)}{-h} \ge 0,\quad \frac{f(c+h) – f(c)}{h} \le 0
f(x) は x=c で微分可能なので、 h \to +0 とすると
f'(c) \ge 0 \quad かつ \quad f'(c) \le 0
となるので、
∴ \quad f'(c) = 0
とする。
③ f(x) < f(a) であるような f(x) の場合
②世同様に証明できる。
① ~ ③より、
ロルの定理を証明できた。
