数列と収束

数列とは

ある規則に従って並べられた数の列の事。

 

— 一般的な表し方 —

\( a_1,a_2,a_3,\cdots ,a_n,\cdots \)

または

\( \{ a_n \} \)

で表す。

また、\( a_1 \)を初項、\( a_2 \)を第2項

と呼び、\( a_n \)を第\( n \)項または一般項と呼ぶ。

数列の種類例

上記でも述べたように、数列とは規則に従って並べられた数の列だが、

明確な場合

\( a_n = 5n ,\quad a_n = a_{n-1} r +2 ,\quad a_n = n^2\)

のように数式で表す。これを一般項と呼ぶ。

 

以下によくみられる数列を示す。

・等差数列

　\( a_1 = a_1 ,\quad a_2 = a_1 +d ,\quad a_3 = a_1 + 2d , \cdots \cdots \)

・等比数列

　\( a_1 = a_1 , \quad a_2 = a_1 r , \quad a_3 = a_1 r^2 , \cdots \cdots \)

・階差数列

　ある数列 \( {b_n} \) がある時、この数列を差とする数列

　\( a_1 = a_1 , \quad a_2 = a_1 + b_1 ,\quad a_3 = a_1 + b_1 + b_2 , \cdots \cdots \)

漸化式とは

以前の項との関係式を示す数列式の事。

上記で示した数列を漸化式で示してみる

 

・等差数列

　\( a_n = a_{n-1} + d \)

・等比数列

　\( a_n = a_{n-1} r \)

・階差数列

　\( a_n = a_{n-1} + b_{n-1} \)

 

有名な漸化式では、フィボナッチ数列がある。

・フィボナッチ数列

　\( a_1 = 1, \quad a_2 =1,\quad a_n = a_{n-1} + a_{n-2} \)

漸化式

① 階差数列の形 \( a_{n+1} – a_n = f(n) \)

\begin{eqnarray} a_{n} = a_1 +\sum_{k=1}^{n-1} f(k) \quad (n \ge 2) \end{eqnarray}

② \( a_{n+1} = f(n)a_n \)

　　\begin{eqnarray} a_n = f(n-1)f(n-2) \cdots f(2)f(1)a_1 \end{eqnarray}

③ \( a_{n+1} = p a_n + q \quad (n=1,2,3,\cdots \cdots , ; p \neq 1,\quad q \neq 0 ) \)

　　\( \alpha = p \alpha + q \) となる \( \alpha \) をとり、各辺を引くと

　　\( a_{n+1} – \alpha = p(a_n – \alpha) \)

　　と表せられるので、数列{ \( a_n – \alpha \) } は

　　\( 公比p,\quad 初項(a_1 – \alpha) \) の等比数列となる

　　ゆえに、

　　\( a_n -\alpha = (a_1 -\alpha)p^{n-1} \)

④ \( a_{n+1} = pa_n + g(n) \quad (p \neq 0 ) \)

　　両辺を \( p^{n+1} \) で割ると、

　　\( \frac{a_{n+1}}{p^{n+1}} – \frac{a_n}{p^n} = \frac{g(n)}{p^{n+1}} \)

　　ここで、 \( c_n = \frac{a_n}{p^n} \) , \( f(n) = \frac{g(n)}{p^{n+1}} \) と置くと

　　\( c_{n+1} – c_n = f(n) \) となり①の方法で解ける。

和の記号 \( \Sigma \)

数列の和 \( a_1 + a_2 + \cdots \cdots +a_n \) を \( \displaystyle \sum_{k=1}^{n} a_k \) と書く。

 

— 性質 —

(1). \( \displaystyle \sum_{k=1}^{n} (a_k + b_k) = \sum_{k=1}^{n} a_k + \sum_{k=1}^{n} b_k \)

(2). \( \displaystyle \sum_{k=1}^{n} c a_k = c \sum_{k=1}^{n} a_k \)

(3). \( \displaystyle \sum_{k=1}^{n} c = nc \)

※ \( c \) は定数。

累乗の和

(1). \( \displaystyle \sum_{k=1}^{n} k = 1 + 2 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2} \)

(2). \( \displaystyle \sum_{k=1}^{n} k^2 = 1^2 + 2^2 + \cdots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \)

(3). \( \displaystyle \sum_{k=1}^{n} k^3 = 1^3 + 2^3 + \cdots + n^3 = \{ \frac{n(n+1)}{2} \}^2 \)

(4). \( \displaystyle \sum_{k=1}^{n} k^4 = 1^4 + 2^3 + \cdots + n^4 \) \( = \frac{1}{30}n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1) \)

\( \sum_{k=1}^{n}(c_{k+1}-c_k)の計算 \) \begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{n}(c_{k+1}-c_k) &=& (c_2 -c_1) +(c_3 -c_2) +(c_4 – c_3) + \cdots \cdots + (c_{n+1} -c_n) \\ &=& c_{n+1} -c_1 \\ \end{eqnarray}

この形になる数列の和の問題が多い。

収束とは

数列\( {a_n} \) が与えられ、\( n \to \infty \) にした時、

特定の実数値 \( \alpha \) に近づくならば、

\[ \lim_{n \to \infty} a_n = \alpha \]

と書き、\( a_n \) は \( n \) を無限大に飛ばした時、

\( \alpha \) に収束するという。

\( \varepsilon – N \) 論法

極限を議論するのに、用いらられる証明法である。

 

「 \( \lim_{n \to \infty } a_n = \alpha \) 」

これを \( \varepsilon – N \) 論法で書き直すと、

　↓

「\( \forall \varepsilon , \exists N \in \mathbb{N} \quad s.t. \quad \forall n > N \to |a_n – \alpha | < \varepsilon \)」

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無限級数とは

無限数列\( {a_n} \)の各項を初項から無限に足し合わせた式を無限級数という。

\begin{align} a_1 + a_2 + \cdots + a_n + \cdots = \sum_{k=1}^{\infty} a_k \end{align}

無限級数の収束

無限数列\( {a_n} \)の各項を初項から無限に足し合わせた式を無限級数という。

無限級数が\( S \)に収束する時、

\begin{align}
\sum_{n=1}^{\infty} a_n = S
\end{align}

と表す。

(1). 数列\( {a_n} \)の無限級数が収束する時、

\begin{align}
\lim_{n \to \infty } a_n = 0
\end{align}

数列\( {a_n} \)は0に収束する。

(2) . 数列\( {a_n} \)が収束する時、無限級数\( \lim_{n \to \infty}S_n\)は収束するとは限らない。